Pré-calcul Exemples

$x^{4} - 8 x^{3} + 17 x^{2} - 8 x + 16$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(4)}^{4} - 8 {(4)}^{3} + 17 {(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 16$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 4$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $4$ à la puissance $4$ .

$256 - 8 {(4)}^{3} + 17 {(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 16$

Étape 4.1.2

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$256 - 8 \cdot 64 + 17 {(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 16$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 8$ par $64$ .

$256 - 512 + 17 {(4)}^{2} - 8 \cdot 4 + 16$

Étape 4.1.4

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$256 - 512 + 17 \cdot 16 - 8 \cdot 4 + 16$

Étape 4.1.5

Multipliez $17$ par $16$ .

$256 - 512 + 272 - 8 \cdot 4 + 16$

Étape 4.1.6

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$256 - 512 + 272 - 32 + 16$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $512$ de $256$ .

$- 256 + 272 - 32 + 16$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 256$ et $272$ .

$16 - 32 + 16$

Étape 4.2.3

Soustrayez $32$ de $16$ .

$- 16 + 16$

Étape 4.2.4

Additionnez $- 16$ et $16$ .

$0$

Étape 5

Comme $4$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 4$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} - 8 x^{3} + 17 x^{2} - 8 x + 16}{x - 4}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$4$	$1$	$- 8$	$17$	$- 8$	$16$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$4$	$1$	$- 8$	$17$	$- 8$	$16$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(4)$ et placez le résultat de $(4)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 8)$ .

$4$	$1$	$- 8$	$17$	$- 8$	$16$
		$4$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$4$	$1$	$- 8$	$17$	$- 8$	$16$
		$4$
	$1$	$- 4$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 4)$ par le diviseur $(4)$ et placez le résultat de $(- 16)$ sous le terme suivant dans le dividende $(17)$ .

$4$	$1$	$- 8$	$17$	$- 8$	$16$
		$4$	$- 16$
	$1$	$- 4$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$4$	$1$	$- 8$	$17$	$- 8$	$16$
		$4$	$- 16$
	$1$	$- 4$	$1$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(4)$ et placez le résultat de $(4)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 8)$ .

$4$	$1$	$- 8$	$17$	$- 8$	$16$
		$4$	$- 16$	$4$
	$1$	$- 4$	$1$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$4$	$1$	$- 8$	$17$	$- 8$	$16$
		$4$	$- 16$	$4$
	$1$	$- 4$	$1$	$- 4$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 4)$ par le diviseur $(4)$ et placez le résultat de $(- 16)$ sous le terme suivant dans le dividende $(16)$ .

$4$	$1$	$- 8$	$17$	$- 8$	$16$
		$4$	$- 16$	$4$	$- 16$
	$1$	$- 4$	$1$	$- 4$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$4$	$1$	$- 8$	$17$	$- 8$	$16$
		$4$	$- 16$	$4$	$- 16$
	$1$	$- 4$	$1$	$- 4$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (1) x - 4$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} - 4 x^{2} + x - 4$

Étape 7

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x - 4) (x^{3} - 4 x^{2}) + x - 4$

Étape 7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x - 4) + x^{2} (x - 4) + 1 (x - 4)$

$(x - 4) x^{2} (x - 4) + 1 (x - 4)$

Étape 8

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 4$ .

$(x - 4) (x - 4) (x^{2} + 1)$

Étape 9

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 9.1

Regroupez les termes.

$- 8 x^{3} - 8 x + x^{4} + 17 x^{2} + 16 = 0$

Étape 9.2

Factorisez $- 8 x$ à partir de $- 8 x^{3} - 8 x$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $- 8 x$ à partir de $- 8 x^{3}$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x + x^{4} + 17 x^{2} + 16 = 0$

Étape 9.2.2

Factorisez $- 8 x$ à partir de $- 8 x$ .

$- 8 x \cdot x^{2} - 8 x \cdot 1 + x^{4} + 17 x^{2} + 16 = 0$

Étape 9.2.3

Factorisez $- 8 x$ à partir de $- 8 x (x^{2}) - 8 x (1)$ .

$- 8 x (x^{2} + 1) + x^{4} + 17 x^{2} + 16 = 0$

Étape 9.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} + 17 x^{2} + 16 = 0$

Étape 9.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- 8 x (x^{2} + 1) + u^{2} + 17 u + 16 = 0$

Étape 9.5

Factorisez $u^{2} + 17 u + 16$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 9.5.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $16$ et dont la somme est $17$ .

$1, 16$

Étape 9.5.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 8 x (x^{2} + 1) + (u + 1) (u + 16) = 0$

Étape 9.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- 8 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 16) = 0$

Étape 9.7

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $- 8 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 16)$ .

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Étape 9.7.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $- 8 x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- 8 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 16) = 0$

Étape 9.7.2

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $(x^{2} + 1) (- 8 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 16)$ .

$(x^{2} + 1) (- 8 x + x^{2} + 16) = 0$

Étape 9.8

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x^{2} + 1) (- 8 u + u^{2} + 16) = 0$

Étape 9.9

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 9.9.1

Réorganisez les termes.

$(x^{2} + 1) (u^{2} - 8 u + 16) = 0$

Étape 9.9.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (u^{2} - 8 u + 4^{2}) = 0$

Étape 9.9.3

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$8 u = 2 \cdot u \cdot 4$

Étape 9.9.4

Réécrivez le polynôme.

$(x^{2} + 1) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 4 + 4^{2}) = 0$

Étape 9.9.5

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 4$ .

$(x^{2} + 1) {(u - 4)}^{2} = 0$

Étape 9.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x^{2} + 1) {(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 10

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 11

Définissez $x^{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x^{2} + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $x^{2} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 1$

Étape 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 11.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 11.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 11.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 11.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 12

Définissez ${(x - 4)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez ${(x - 4)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 4)}^{2} = 0$

Étape 12.2

Résolvez ${(x - 4)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.1

Définissez le $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 12.2.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 13

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} + 1) {(x - 4)}^{2} = 0$ vraie.

$x = i, - i, 4$

Étape 14