Pré-calcul Exemples

$x^{4} - 9 x^{2}$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 0$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$0$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(0)}^{4} - 9 {(0)}^{2}$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 0$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 9 {(0)}^{2}$

Étape 4.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 9 \cdot 0$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$0 + 0$

Étape 4.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 5

Comme $0$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 0$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{4} - 9 x^{2}}{x + 0}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$
	$1$	$0$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(0)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 9)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$0$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 9$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 9)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 9$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 9$	$0$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(0)$ par le diviseur $(0)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 9$	$0$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$0$	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$
		$0$	$0$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$- 9$	$0$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{3} + 0 x^{2} + (- 9) x + 0$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{3} - 9 x$

Étape 7

Factorisez $x$ à partir de $x^{3} - 9 x$ .

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Étape 7.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} - 9 x)$

Étape 7.2

Factorisez $x$ à partir de $- 9 x$ .

$(x + 0) (x \cdot x^{2} + x \cdot - 9)$

Étape 7.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 9$ .

$(x + 0) (x (x^{2} - 9))$

Étape 8

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$(x + 0) (x (x^{2} - 3^{2}))$

Étape 9

Factorisez.

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Étape 9.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$(x + 0) (x ((x + 3) (x - 3)))$

Étape 9.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 0) (x (x + 3) (x - 3))$

Étape 10

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 10.1

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 9 x^{2} = 0$

Étape 10.2

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$u^{2} - 9 u = 0$

Étape 10.3

Factorisez $u$ à partir de $u^{2} - 9 u$ .

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Étape 10.3.1

Factorisez $u$ à partir de $u^{2}$ .

$u \cdot u - 9 u = 0$

Étape 10.3.2

Factorisez $u$ à partir de $- 9 u$ .

$u \cdot u + u \cdot - 9 = 0$

Étape 10.3.3

Factorisez $u$ à partir de $u \cdot u + u \cdot - 9$ .

$u (u - 9) = 0$

Étape 10.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 9) = 0$

Étape 11

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 9 = 0$

Étape 12

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 12.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 12.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 12.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 12.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 12.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 13

Définissez $x^{2} - 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x^{2} - 9$ égal à $0$ .

$x^{2} - 9 = 0$

Étape 13.2

Résolvez $x^{2} - 9 = 0$ pour $x$ .

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Étape 13.2.1

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 9$

Étape 13.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 13.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 13.2.3.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 13.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 13.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 13.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 13.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 13.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} (x^{2} - 9) = 0$ vraie.

$x = 0, 3, - 3$

Étape 15