Pré-calcul Exemples

$x^{5} - 4 x^{4} - 3 x^{3} + 22 x^{2} - 4 x - 24$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(- 1)}^{5} - 4 {(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = - 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $5$ .

$- 1 - 4 {(- 1)}^{4} - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Étape 4.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$- 1 - 4 \cdot 1 - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$- 1 - 4 - 3 {(- 1)}^{3} + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Étape 4.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 - 4 - 3 \cdot - 1 + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Étape 4.1.5

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$- 1 - 4 + 3 + 22 {(- 1)}^{2} - 4 \cdot - 1 - 24$

Étape 4.1.6

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 1 - 4 + 3 + 22 \cdot 1 - 4 \cdot - 1 - 24$

Étape 4.1.7

Multipliez $22$ par $1$ .

$- 1 - 4 + 3 + 22 - 4 \cdot - 1 - 24$

Étape 4.1.8

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$- 1 - 4 + 3 + 22 + 4 - 24$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $4$ de $- 1$ .

$- 5 + 3 + 22 + 4 - 24$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 5$ et $3$ .

$- 2 + 22 + 4 - 24$

Étape 4.2.3

Additionnez $- 2$ et $22$ .

$20 + 4 - 24$

Étape 4.2.4

Additionnez $20$ et $4$ .

$24 - 24$

Étape 4.2.5

Soustrayez $24$ de $24$ .

$0$

Étape 5

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{5} - 4 x^{4} - 3 x^{3} + 22 x^{2} - 4 x - 24}{x + 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(- 1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 4)$ .

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$
	$1$	$- 5$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 5)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(5)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 3)$ .

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$
	$1$	$- 5$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$
	$1$	$- 5$	$2$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(- 2)$ sous le terme suivant dans le dividende $(22)$ .

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$
	$1$	$- 5$	$2$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(20)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(- 20)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 4)$ .

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$	$- 20$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$	$- 20$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$	$- 24$

Étape 6.11

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 24)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(24)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 24)$ .

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$	$- 20$	$24$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$	$- 24$

Étape 6.12

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$1$	$- 4$	$- 3$	$22$	$- 4$	$- 24$
		$- 1$	$5$	$- 2$	$- 20$	$24$
	$1$	$- 5$	$2$	$20$	$- 24$	$0$

Étape 6.13

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{4} + - 5 x^{3} + 2 x^{2} + 20 x - 24$

Étape 6.14

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{4} - 5 x^{3} + 2 x^{2} + 20 x - 24$

Étape 7

Résolvez l’équation pour déterminer toute racine restante.

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Étape 7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1.1

Regroupez les termes.

$- 5 x^{3} + 20 x + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Étape 7.1.2

Factorisez $- 5 x$ à partir de $- 5 x^{3} + 20 x$ .

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Étape 7.1.2.1

Factorisez $- 5 x$ à partir de $- 5 x^{3}$ .

$- 5 x \cdot x^{2} + 20 x + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Étape 7.1.2.2

Factorisez $- 5 x$ à partir de $20 x$ .

$- 5 x \cdot x^{2} - 5 x \cdot - 4 + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Étape 7.1.2.3

Factorisez $- 5 x$ à partir de $- 5 x (x^{2}) - 5 x (- 4)$ .

$- 5 x (x^{2} - 4) + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Étape 7.1.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- 5 x (x^{2} - 2^{2}) + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Étape 7.1.4

Factorisez.

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Étape 7.1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$- 5 x ((x + 2) (x - 2)) + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Étape 7.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + x^{4} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Étape 7.1.5

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} - 24 = 0$

Étape 7.1.6

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + u^{2} + 2 u - 24 = 0$

Étape 7.1.7

Factorisez $u^{2} + 2 u - 24$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.1.7.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 24$ et dont la somme est $2$ .

$- 4, 6$

Étape 7.1.7.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + (u - 4) (u + 6) = 0$

Étape 7.1.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 4) (x^{2} + 6) = 0$

Étape 7.1.9

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 6) = 0$

Étape 7.1.10

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$- 5 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 6) = 0$

Étape 7.1.11

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $- 5 x (x + 2) (x - 2) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 6)$ .

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Étape 7.1.11.1

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $- 5 x (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 5 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 6) = 0$

Étape 7.1.11.2

Factorisez $(x + 2) (x - 2)$ à partir de $(x + 2) (x - 2) (- 5 x) + (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 6)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 5 x + x^{2} + 6) = 0$

Étape 7.1.12

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 5 u + u^{2} + 6) = 0$

Étape 7.1.13

Factorisez $- 5 u + u^{2} + 6$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 7.1.13.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $6$ et dont la somme est $- 5$ .

$- 3, - 2$

Étape 7.1.13.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 2) (x - 2) ((u - 3) (u - 2)) = 0$

Étape 7.1.14

Factorisez.

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Étape 7.1.14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x - 3) (x - 2)) = 0$

Étape 7.1.14.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) (x - 2) (x - 3) (x - 2) = 0$

Étape 7.1.15

Associez les exposants.

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Étape 7.1.15.1

Élevez $x - 2$ à la puissance $1$ .

$(x + 2) ((x - 2) (x - 2)) (x - 3) = 0$

Étape 7.1.15.2

Élevez $x - 2$ à la puissance $1$ .

$(x + 2) ((x - 2) (x - 2)) (x - 3) = 0$

Étape 7.1.15.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x + 2) {(x - 2)}^{1 + 1} (x - 3) = 0$

Étape 7.1.15.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$(x + 2) {(x - 2)}^{2} (x - 3) = 0$

Étape 7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

${(x - 2)}^{2} = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 7.3

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 7.3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 7.4

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.4.1

Définissez ${(x - 2)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 7.4.2

Résolvez ${(x - 2)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.4.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 7.4.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 7.5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 7.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 7.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) {(x - 2)}^{2} (x - 3) = 0$ vraie.

$x = - 2, 2, 3$

Étape 8

Le polynôme peut être écrit comme un ensemble de facteurs linéaires.

$(x + 1) (x + 2) (x - 2) (x - 3)$

Étape 9

Ce sont les racines (zéros) du polynôme $x^{5} - 4 x^{4} - 3 x^{3} + 22 x^{2} - 4 x - 24$ .

$x = - 1, - 2, 2, 3$

Étape 10