Pré-calcul Exemples

$x^{3} - 4 x^{2} + 16 x - 64$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16, \pm 32, \pm 64$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(4)}^{3} - 4 {(4)}^{2} + 16 (4) - 64$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 4$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$64 - 4 {(4)}^{2} + 16 (4) - 64$

Étape 4.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$64 - 4 \cdot 16 + 16 (4) - 64$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$64 - 64 + 16 (4) - 64$

Étape 4.1.4

Multipliez $16$ par $4$ .

$64 - 64 + 64 - 64$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Soustrayez $64$ de $64$ .

$0 + 64 - 64$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $64$ .

$64 - 64$

Étape 4.2.3

Soustrayez $64$ de $64$ .

$0$

Étape 5

Comme $4$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 4$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + 16 x - 64}{x - 4}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$4$	$1$	$- 4$	$16$	$- 64$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$4$	$1$	$- 4$	$16$	$- 64$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(4)$ et placez le résultat de $(4)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 4)$ .

$4$	$1$	$- 4$	$16$	$- 64$
		$4$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$4$	$1$	$- 4$	$16$	$- 64$
		$4$
	$1$	$0$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(0)$ par le diviseur $(4)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(16)$ .

$4$	$1$	$- 4$	$16$	$- 64$
		$4$	$0$
	$1$	$0$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$4$	$1$	$- 4$	$16$	$- 64$
		$4$	$0$
	$1$	$0$	$16$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(16)$ par le diviseur $(4)$ et placez le résultat de $(64)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 64)$ .

$4$	$1$	$- 4$	$16$	$- 64$
		$4$	$0$	$64$
	$1$	$0$	$16$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$4$	$1$	$- 4$	$16$	$- 64$
		$4$	$0$	$64$
	$1$	$0$	$16$	$0$

Étape 6.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{2} + 0 x + 16$

Étape 6.10

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{2} + 16$

Étape 7

Résolvez l’équation pour déterminer toute racine restante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 16$

Étape 7.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 16}$

Étape 7.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 16}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (16)}$

Étape 7.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$

Étape 7.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{16}$

Étape 7.3.4

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}$

Étape 7.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 4$

Étape 7.3.6

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 4 i$

Étape 7.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 4 i$

Étape 7.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 4 i$

Étape 7.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 4 i, - 4 i$

Étape 8

Le polynôme peut être écrit comme un ensemble de facteurs linéaires.

$(x - 4) (x - 4 i) (x + 4 i)$

Étape 9

Ce sont les racines (zéros) du polynôme $x^{3} - 4 x^{2} + 16 x - 64$ .

$x = 4, 4 i, - 4 i$

Étape 10