Pré-calcul Exemples

$9 x^{4} + 10 x^{3} + 19 x^{2} + 20 x + 2$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{1}{9}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}, \pm \frac{2}{9}$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$9 {(- 1)}^{4} + 10 {(- 1)}^{3} + 19 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) + 2$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = - 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$9 \cdot 1 + 10 {(- 1)}^{3} + 19 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) + 2$

Étape 4.1.2

Multipliez $9$ par $1$ .

$9 + 10 {(- 1)}^{3} + 19 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) + 2$

Étape 4.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$9 + 10 \cdot - 1 + 19 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) + 2$

Étape 4.1.4

Multipliez $10$ par $- 1$ .

$9 - 10 + 19 {(- 1)}^{2} + 20 (- 1) + 2$

Étape 4.1.5

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$9 - 10 + 19 \cdot 1 + 20 (- 1) + 2$

Étape 4.1.6

Multipliez $19$ par $1$ .

$9 - 10 + 19 + 20 (- 1) + 2$

Étape 4.1.7

Multipliez $20$ par $- 1$ .

$9 - 10 + 19 - 20 + 2$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $10$ de $9$ .

$- 1 + 19 - 20 + 2$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 1$ et $19$ .

$18 - 20 + 2$

Étape 4.2.3

Soustrayez $20$ de $18$ .

$- 2 + 2$

Étape 4.2.4

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$0$

Étape 5

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{9 x^{4} + 10 x^{3} + 19 x^{2} + 20 x + 2}{x + 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(9)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$

	$9$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(9)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(- 9)$ sous le terme suivant dans le dividende $(10)$ .

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$
	$9$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$
	$9$	$1$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(- 1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(19)$ .

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$
	$9$	$1$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$
	$9$	$1$	$18$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(18)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(- 18)$ sous le terme suivant dans le dividende $(20)$ .

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$	$- 18$
	$9$	$1$	$18$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$	$- 18$
	$9$	$1$	$18$	$2$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(2)$ par le diviseur $(- 1)$ et placez le résultat de $(- 2)$ sous le terme suivant dans le dividende $(2)$ .

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$	$- 18$	$- 2$
	$9$	$1$	$18$	$2$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 1$	$9$	$10$	$19$	$20$	$2$
		$- 9$	$- 1$	$- 18$	$- 2$
	$9$	$1$	$18$	$2$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$9 x^{3} + 1 x^{2} + (18) x + 2$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$9 x^{3} + x^{2} + 18 x + 2$

Étape 7

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 1) (9 x^{3} + x^{2}) + 18 x + 2$

Étape 7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 1) + x^{2} (9 x + 1) + 2 (9 x + 1)$

$(x + 1) x^{2} (9 x + 1) + 2 (9 x + 1)$

Étape 8

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $9 x + 1$ .

$(x + 1) (9 x + 1) (x^{2} + 2)$

Étape 9

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 9.1

Regroupez les termes.

$10 x^{3} + 20 x + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2 = 0$

Étape 9.2

Factorisez $10 x$ à partir de $10 x^{3} + 20 x$ .

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Étape 9.2.1

Factorisez $10 x$ à partir de $10 x^{3}$ .

$10 x (x^{2}) + 20 x + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2 = 0$

Étape 9.2.2

Factorisez $10 x$ à partir de $20 x$ .

$10 x (x^{2}) + 10 x (2) + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2 = 0$

Étape 9.2.3

Factorisez $10 x$ à partir de $10 x (x^{2}) + 10 x (2)$ .

$10 x (x^{2} + 2) + 9 x^{4} + 19 x^{2} + 2 = 0$

Étape 9.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$10 x (x^{2} + 2) + 9 {(x^{2})}^{2} + 19 x^{2} + 2 = 0$

Étape 9.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + 19 u + 2 = 0$

Étape 9.5

Factorisez par regroupement.

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Étape 9.5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 9 \cdot 2 = 18$ et dont la somme est $b = 19$ .

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Étape 9.5.1.1

Factorisez $19$ à partir de $19 u$ .

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + 19 (u) + 2 = 0$

Étape 9.5.1.2

Réécrivez $19$ comme $1$ plus $18$

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + (1 + 18) u + 2 = 0$

Étape 9.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + 1 u + 18 u + 2 = 0$

Étape 9.5.1.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + u + 18 u + 2 = 0$

Étape 9.5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 9.5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$10 x (x^{2} + 2) + 9 u^{2} + u + 18 u + 2 = 0$

Étape 9.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$10 x (x^{2} + 2) + u (9 u + 1) + 2 (9 u + 1) = 0$

Étape 9.5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $9 u + 1$ .

$10 x (x^{2} + 2) + (9 u + 1) (u + 2) = 0$

Étape 9.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$10 x (x^{2} + 2) + (9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2) = 0$

Étape 9.7

Factorisez $x^{2} + 2$ à partir de $10 x (x^{2} + 2) + (9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2)$ .

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Étape 9.7.1

Factorisez $x^{2} + 2$ à partir de $10 x (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} + 2) (10 x) + (9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2) = 0$

Étape 9.7.2

Factorisez $x^{2} + 2$ à partir de $(9 x^{2} + 1) (x^{2} + 2)$ .

$(x^{2} + 2) (10 x) + (x^{2} + 2) (9 x^{2} + 1) = 0$

Étape 9.7.3

Factorisez $x^{2} + 2$ à partir de $(x^{2} + 2) (10 x) + (x^{2} + 2) (9 x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 2) (10 x + 9 x^{2} + 1) = 0$

Étape 9.8

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x^{2} + 2) (10 u + 9 u^{2} + 1) = 0$

Étape 9.9

Factorisez par regroupement.

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Étape 9.9.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x^{2} + 2) (9 u^{2} + 10 u + 1) = 0$

Étape 9.9.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 9 \cdot 1 = 9$ et dont la somme est $b = 10$ .

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Étape 9.9.2.1

Factorisez $10$ à partir de $10 u$ .

$(x^{2} + 2) (9 u^{2} + 10 (u) + 1) = 0$

Étape 9.9.2.2

Réécrivez $10$ comme $1$ plus $9$

$(x^{2} + 2) (9 u^{2} + (1 + 9) u + 1) = 0$

Étape 9.9.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} + 2) (9 u^{2} + 1 u + 9 u + 1) = 0$

Étape 9.9.2.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$(x^{2} + 2) (9 u^{2} + u + 9 u + 1) = 0$

Étape 9.9.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 9.9.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{2} + 2) ((9 u^{2} + u) + 9 u + 1) = 0$

Étape 9.9.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x^{2} + 2) (u (9 u + 1) + 1 (9 u + 1)) = 0$

Étape 9.9.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $9 u + 1$ .

$(x^{2} + 2) ((9 u + 1) (u + 1)) = 0$

Étape 9.10

Factorisez.

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Étape 9.10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x^{2} + 2) ((9 x + 1) (x + 1)) = 0$

Étape 9.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} + 2) (9 x + 1) (x + 1) = 0$

Étape 10

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

$9 x + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 11

Définissez $x^{2} + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x^{2} + 2$ égal à $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $x^{2} + 2 = 0$ pour $x$ .

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Étape 11.2.1

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 2$

Étape 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Étape 11.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Étape 11.2.3.1

Réécrivez $- 2$ comme $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Étape 11.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (2)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Étape 11.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Étape 11.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 11.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{2}$

Étape 11.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{2}$

Étape 11.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Étape 12

Définissez $9 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $9 x + 1$ égal à $0$ .

$9 x + 1 = 0$

Étape 12.2

Résolvez $9 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 12.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$9 x = - 1$

Étape 12.2.2

Divisez chaque terme dans $9 x = - 1$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 12.2.2.1

Divisez chaque terme dans $9 x = - 1$ par $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Étape 12.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 12.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 12.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Étape 12.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{9}$

Étape 12.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 12.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{9}$

Étape 13

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 13.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} + 2) (9 x + 1) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}, - \frac{1}{9}, - 1$

Étape 15