Pré-calcul Exemples

$5 x^{5} - 36 x^{4} + 62 x^{3} - 46 x^{2} + 57 x - 10$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10$

$q = \pm 1, \pm 5$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{5}, \pm 2, \pm \frac{2}{5}, \pm 5, \pm 10$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$5 {(2)}^{5} - 36 {(2)}^{4} + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 2$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $2$ à la puissance $5$ .

$5 \cdot 32 - 36 {(2)}^{4} + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Étape 4.1.2

Multipliez $5$ par $32$ .

$160 - 36 {(2)}^{4} + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Étape 4.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$160 - 36 \cdot 16 + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 36$ par $16$ .

$160 - 576 + 62 {(2)}^{3} - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Étape 4.1.5

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$160 - 576 + 62 \cdot 8 - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Étape 4.1.6

Multipliez $62$ par $8$ .

$160 - 576 + 496 - 46 {(2)}^{2} + 57 (2) - 10$

Étape 4.1.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$160 - 576 + 496 - 46 \cdot 4 + 57 (2) - 10$

Étape 4.1.8

Multipliez $- 46$ par $4$ .

$160 - 576 + 496 - 184 + 57 (2) - 10$

Étape 4.1.9

Multipliez $57$ par $2$ .

$160 - 576 + 496 - 184 + 114 - 10$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $576$ de $160$ .

$- 416 + 496 - 184 + 114 - 10$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 416$ et $496$ .

$80 - 184 + 114 - 10$

Étape 4.2.3

Soustrayez $184$ de $80$ .

$- 104 + 114 - 10$

Étape 4.2.4

Additionnez $- 104$ et $114$ .

$10 - 10$

Étape 4.2.5

Soustrayez $10$ de $10$ .

$0$

Étape 5

Comme $2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{5 x^{5} - 36 x^{4} + 62 x^{3} - 46 x^{2} + 57 x - 10}{x - 2}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(5)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$

	$5$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(5)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(10)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 36)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$
	$5$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$
	$5$	$- 26$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 26)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(- 52)$ sous le terme suivant dans le dividende $(62)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$
	$5$	$- 26$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$
	$5$	$- 26$	$10$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(10)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(20)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 46)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$
	$5$	$- 26$	$10$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$
	$5$	$- 26$	$10$	$- 26$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 26)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(- 52)$ sous le terme suivant dans le dividende $(57)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$	$- 52$
	$5$	$- 26$	$10$	$- 26$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$	$- 52$
	$5$	$- 26$	$10$	$- 26$	$5$

Étape 6.11

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(5)$ par le diviseur $(2)$ et placez le résultat de $(10)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 10)$ .

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$	$- 52$	$10$
	$5$	$- 26$	$10$	$- 26$	$5$

Étape 6.12

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$2$	$5$	$- 36$	$62$	$- 46$	$57$	$- 10$
		$10$	$- 52$	$20$	$- 52$	$10$
	$5$	$- 26$	$10$	$- 26$	$5$	$0$

Étape 6.13

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$5 x^{4} + - 26 x^{3} + 10 x^{2} + - 26 x + 5$

Étape 6.14

Simplifiez le polynôme quotient.

$5 x^{4} - 26 x^{3} + 10 x^{2} - 26 x + 5$

Étape 7

Résolvez l’équation pour déterminer toute racine restante.

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Étape 7.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 7.1.1

Regroupez les termes.

$- 26 x^{3} - 26 x + 5 x^{4} + 10 x^{2} + 5 = 0$

Étape 7.1.2

Factorisez $- 26 x$ à partir de $- 26 x^{3} - 26 x$ .

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Étape 7.1.2.1

Factorisez $- 26 x$ à partir de $- 26 x^{3}$ .

$- 26 x \cdot x^{2} - 26 x + 5 x^{4} + 10 x^{2} + 5 = 0$

Étape 7.1.2.2

Factorisez $- 26 x$ à partir de $- 26 x$ .

$- 26 x \cdot x^{2} - 26 x \cdot 1 + 5 x^{4} + 10 x^{2} + 5 = 0$

Étape 7.1.2.3

Factorisez $- 26 x$ à partir de $- 26 x (x^{2}) - 26 x (1)$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 x^{4} + 10 x^{2} + 5 = 0$

Étape 7.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{4} + 10 x^{2} + 5$ .

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Étape 7.1.3.1

Factorisez $5$ à partir de $5 x^{4}$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (x^{4}) + 10 x^{2} + 5 = 0$

Étape 7.1.3.2

Factorisez $5$ à partir de $10 x^{2}$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (x^{4}) + 5 (2 x^{2}) + 5 = 0$

Étape 7.1.3.3

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (x^{4}) + 5 (2 x^{2}) + 5 (1) = 0$

Étape 7.1.3.4

Factorisez $5$ à partir de $5 (x^{4}) + 5 (2 x^{2})$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (x^{4} + 2 x^{2}) + 5 (1) = 0$

Étape 7.1.3.5

Factorisez $5$ à partir de $5 (x^{4} + 2 x^{2}) + 5 (1)$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Étape 7.1.4

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Étape 7.1.5

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

Étape 7.1.6

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 7.1.6.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

Étape 7.1.6.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 7.1.6.3

Réécrivez le polynôme.

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 7.1.6.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 {(u + 1)}^{2} = 0$

Étape 7.1.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- 26 x (x^{2} + 1) + 5 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Étape 7.1.8

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $- 26 x (x^{2} + 1) + 5 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Étape 7.1.8.1

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $- 26 x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- 26 x) + 5 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Étape 7.1.8.2

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $5 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (- 26 x) + (x^{2} + 1) (5 (x^{2} + 1)) = 0$

Étape 7.1.8.3

Factorisez $x^{2} + 1$ à partir de $(x^{2} + 1) (- 26 x) + (x^{2} + 1) (5 (x^{2} + 1))$ .

$(x^{2} + 1) (- 26 x + 5 (x^{2} + 1)) = 0$

Étape 7.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} + 1) (- 26 x + 5 x^{2} + 5 \cdot 1) = 0$

Étape 7.1.10

Multipliez $5$ par $1$ .

$(x^{2} + 1) (- 26 x + 5 x^{2} + 5) = 0$

Étape 7.1.11

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x^{2} + 1) (5 x^{2} - 26 x + 5) = 0$

Étape 7.1.12

Factorisez.

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Étape 7.1.12.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 7.1.12.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 5 \cdot 5 = 25$ et dont la somme est $b = - 26$ .

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Étape 7.1.12.1.1.1

Factorisez $- 26$ à partir de $- 26 x$ .

$(x^{2} + 1) (5 x^{2} - 26 x + 5) = 0$

Étape 7.1.12.1.1.2

Réécrivez $- 26$ comme $- 1$ plus $- 25$

$(x^{2} + 1) (5 x^{2} + (- 1 - 25) x + 5) = 0$

Étape 7.1.12.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} + 1) (5 x^{2} - 1 x - 25 x + 5) = 0$

Étape 7.1.12.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.1.12.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{2} + 1) ((5 x^{2} - 1 x) - 25 x + 5) = 0$

Étape 7.1.12.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x^{2} + 1) (x (5 x - 1) - 5 (5 x - 1)) = 0$

Étape 7.1.12.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $5 x - 1$ .

$(x^{2} + 1) ((5 x - 1) (x - 5)) = 0$

Étape 7.1.12.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} + 1) (5 x - 1) (x - 5) = 0$

Étape 7.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$5 x - 1 = 0$

$x - 5 = 0$

Étape 7.3

Définissez $x^{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.3.1

Définissez $x^{2} + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Étape 7.3.2

Résolvez $x^{2} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 1$

Étape 7.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 7.3.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 7.3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 7.3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 7.3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 7.3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 7.4

Définissez $5 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.4.1

Définissez $5 x - 1$ égal à $0$ .

$5 x - 1 = 0$

Étape 7.4.2

Résolvez $5 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 7.4.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$5 x = 1$

Étape 7.4.2.2

Divisez chaque terme dans $5 x = 1$ par $5$ et simplifiez.

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Étape 7.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $5 x = 1$ par $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Étape 7.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 7.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 x}{5} = \frac{1}{5}$

Étape 7.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{5}$

Étape 7.5

Définissez $x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 7.5.1

Définissez $x - 5$ égal à $0$ .

$x - 5 = 0$

Étape 7.5.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 5$

Étape 7.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} + 1) (5 x - 1) (x - 5) = 0$ vraie.

$x = i, - i, \frac{1}{5}, 5$

Étape 8

Le polynôme peut être écrit comme un ensemble de facteurs linéaires.

$(x - 2) (x - i) (x + i) (x - \frac{1}{5}) (x - 5)$

Étape 9

Ce sont les racines (zéros) du polynôme $5 x^{5} - 36 x^{4} + 62 x^{3} - 46 x^{2} + 57 x - 10$ .

$x = 2, i, - i, \frac{1}{5}, 5$

Étape 10