Pré-calcul Exemples

$20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 5, \pm 10, \pm 20$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm \frac{1}{5}, \pm \frac{1}{10}, \pm \frac{1}{20}$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

$20 {(\frac{1}{2})}^{4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = \frac{1}{2}$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$20 \frac{1^{4}}{2^{4}} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$20 \frac{1}{2^{4}} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.3

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$20 (\frac{1}{16}) + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $20$ .

$4 (5) \frac{1}{16} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.4.2

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$4 \cdot 5 \frac{1}{4 \cdot 4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.4.3

Annulez le facteur commun.

$4 \cdot 5 \frac{1}{4 \cdot 4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.4.4

Réécrivez l’expression.

$5 (\frac{1}{4}) + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.5

Associez $5$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{4} + 52 {(\frac{1}{2})}^{3} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{4} + 52 \frac{1^{3}}{2^{3}} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{5}{4} + 52 \frac{1}{2^{3}} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.8

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\frac{5}{4} + 52 (\frac{1}{8}) - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.9

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 4.1.9.1

Factorisez $4$ à partir de $52$ .

$\frac{5}{4} + 4 (13) \frac{1}{8} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.9.2

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$\frac{5}{4} + 4 \cdot 13 \frac{1}{4 \cdot 2} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.9.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{5}{4} + 4 \cdot 13 \frac{1}{4 \cdot 2} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.9.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{5}{4} + 13 (\frac{1}{2}) - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.10

Associez $13$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 {(\frac{1}{2})}^{2} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.11

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.12

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 \frac{1}{2^{2}} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.13

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - 45 (\frac{1}{4}) + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.14

Associez $- 45$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} + \frac{- 45}{4} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.15

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - \frac{45}{4} + 5 (\frac{1}{2}) + 1$

Étape 4.1.16

Associez $5$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{5}{4} + \frac{13}{2} - \frac{45}{4} + \frac{5}{2} + 1$

Étape 4.2

Associez les fractions.

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Étape 4.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 + \frac{5 - 45}{4} + \frac{13 + 5}{2}$

Étape 4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez $45$ de $5$ .

$1 + \frac{- 40}{4} + \frac{13 + 5}{2}$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $13$ et $5$ .

$1 + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

Étape 4.3

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 4.3.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1}{1} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{1}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

Étape 4.3.3

Multipliez $\frac{1}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2}$

Étape 4.3.4

Multipliez $\frac{18}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18}{2} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 4.3.5

Multipliez $\frac{18}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18 \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 4.3.6

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4}{4} + \frac{- 40}{4} + \frac{18 \cdot 2}{4}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 - 40 + 18 \cdot 2}{4}$

Étape 4.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.5.1

Multipliez $18$ par $2$ .

$\frac{4 - 40 + 36}{4}$

Étape 4.5.2

Soustrayez $40$ de $4$ .

$\frac{- 36 + 36}{4}$

Étape 4.5.3

Additionnez $- 36$ et $36$ .

$\frac{0}{4}$

Étape 4.5.4

Divisez $0$ par $4$ .

$0$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - \frac{1}{2}$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1}{x - \frac{1}{2}}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(20)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$

	$20$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(20)$ par le diviseur $(\frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(10)$ sous le terme suivant dans le dividende $(52)$ .

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$
	$20$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$
	$20$	$62$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(62)$ par le diviseur $(\frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(31)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 45)$ .

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$
	$20$	$62$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$
	$20$	$62$	$- 14$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 14)$ par le diviseur $(\frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(- 7)$ sous le terme suivant dans le dividende $(5)$ .

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$
	$20$	$62$	$- 14$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$
	$20$	$62$	$- 14$	$- 2$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 2)$ par le diviseur $(\frac{1}{2})$ et placez le résultat de $(- 1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(1)$ .

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$	$- 1$
	$20$	$62$	$- 14$	$- 2$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$\frac{1}{2}$	$20$	$52$	$- 45$	$5$	$1$
		$10$	$31$	$- 7$	$- 1$
	$20$	$62$	$- 14$	$- 2$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$20 x^{3} + 62 x^{2} + (- 14) x - 2$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$20 x^{3} + 62 x^{2} - 14 x - 2$

Étape 7

Factorisez $2$ à partir de $20 x^{3} + 62 x^{2} - 14 x - 2$ .

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Étape 7.1

Factorisez $2$ à partir de $20 x^{3}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 62 x^{2} - 14 x - 2)$

Étape 7.2

Factorisez $2$ à partir de $62 x^{2}$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2}) - 14 x - 2)$

Étape 7.3

Factorisez $2$ à partir de $- 14 x$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2}) + 2 (- 7 x) - 2)$

Étape 7.4

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 (- 1))$

Étape 7.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (10 x^{3}) + 2 (31 x^{2})$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3} + 31 x^{2}) + 2 (- 7 x) + 2 (- 1))$

Étape 7.6

Factorisez $2$ à partir de $2 (10 x^{3} + 31 x^{2}) + 2 (- 7 x)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3} + 31 x^{2} - 7 x) + 2 (- 1))$

Étape 7.7

Factorisez $2$ à partir de $2 (10 x^{3} + 31 x^{2} - 7 x) + 2 (- 1)$ .

$(x - \frac{1}{2}) (2 (10 x^{3} + 31 x^{2} - 7 x - 1))$

Étape 8

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1

Factorisez $20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 8.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 20, \pm 2, \pm 10, \pm 4, \pm 5$

Étape 8.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.05, \pm 0.5, \pm 0.1, \pm 0.25, \pm 0.2$

Étape 8.1.3

Remplacez $- 0.1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 0.1$ est une racine du polynôme.

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Étape 8.1.3.1

Remplacez $- 0.1$ dans le polynôme.

$20 {(- 0.1)}^{4} + 52 {(- 0.1)}^{3} - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Étape 8.1.3.2

Élevez $- 0.1$ à la puissance $4$ .

$20 \cdot 0.0001 + 52 {(- 0.1)}^{3} - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Étape 8.1.3.3

Multipliez $20$ par $0.0001$ .

$0.002 + 52 {(- 0.1)}^{3} - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Étape 8.1.3.4

Élevez $- 0.1$ à la puissance $3$ .

$0.002 + 52 \cdot - 0.001 - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Étape 8.1.3.5

Multipliez $52$ par $- 0.001$ .

$0.002 - 0.052 - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Étape 8.1.3.6

Soustrayez $0.052$ de $0.002$ .

$- 0.05 - 45 {(- 0.1)}^{2} + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Étape 8.1.3.7

Élevez $- 0.1$ à la puissance $2$ .

$- 0.05 - 45 \cdot 0.01 + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Étape 8.1.3.8

Multipliez $- 45$ par $0.01$ .

$- 0.05 - 0.45 + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Étape 8.1.3.9

Soustrayez $0.45$ de $- 0.05$ .

$- 0.5 + 5 \cdot - 0.1 + 1$

Étape 8.1.3.10

Multipliez $5$ par $- 0.1$ .

$- 0.5 - 0.5 + 1$

Étape 8.1.3.11

Soustrayez $0.5$ de $- 0.5$ .

$- 1 + 1$

Étape 8.1.3.12

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$0$

Étape 8.1.4

Comme $- 0.1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $10 x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1}{10 x + 1}$

Étape 8.1.5

Divisez $20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$ par $10 x + 1$ .

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Étape 8.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

Étape 8.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $20 x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $10 x$ .

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

Étape 8.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

Étape 8.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $20 x^{4} + 2 x^{3}$

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

Étape 8.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

Étape 8.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$2 x^{3}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

Étape 8.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $50 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $10 x$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

Étape 8.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

Étape 8.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $50 x^{3} + 5 x^{2}$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

Étape 8.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

Étape 8.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

Étape 8.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 50 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $10 x$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

Étape 8.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

Étape 8.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 50 x^{2} - 5 x$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

Étape 8.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

Étape 8.1.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

Étape 8.1.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $10 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $10 x$ .

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

Étape 8.1.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$10 x$

$1$

Étape 8.1.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $10 x + 1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$10 x$

$1$

Étape 8.1.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

$10 x$

$1$

$20 x^{4}$

$52 x^{3}$

$45 x^{2}$

$5 x$

$1$

$20 x^{4}$

$2 x^{3}$

$50 x^{3}$

$45 x^{2}$

$50 x^{3}$

$5 x^{2}$

$50 x^{2}$

$5 x$

$50 x^{2}$

$5 x$

$10 x$

$1$

$10 x$

$1$

$0$

Étape 8.1.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$

Étape 8.1.6

Écrivez $20 x^{4} + 52 x^{3} - 45 x^{2} + 5 x + 1$ comme un ensemble de facteurs.

$(10 x + 1) (2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1) = 0$

Étape 8.2

Factorisez $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Factorisez $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 8.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5$

Étape 8.2.1.3

Remplacez $0.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $0.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 8.2.1.3.1

Remplacez $0.5$ dans le polynôme.

$2 \cdot {0.5}^{3} + 5 \cdot {0.5}^{2} - 5 \cdot 0.5 + 1$

Étape 8.2.1.3.2

Élevez $0.5$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot 0.125 + 5 \cdot {0.5}^{2} - 5 \cdot 0.5 + 1$

Étape 8.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $0.125$ .

$0.25 + 5 \cdot {0.5}^{2} - 5 \cdot 0.5 + 1$

Étape 8.2.1.3.4

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$0.25 + 5 \cdot 0.25 - 5 \cdot 0.5 + 1$

Étape 8.2.1.3.5

Multipliez $5$ par $0.25$ .

$0.25 + 1.25 - 5 \cdot 0.5 + 1$

Étape 8.2.1.3.6

Additionnez $0.25$ et $1.25$ .

$1.5 - 5 \cdot 0.5 + 1$

Étape 8.2.1.3.7

Multipliez $- 5$ par $0.5$ .

$1.5 - 2.5 + 1$

Étape 8.2.1.3.8

Soustrayez $2.5$ de $1.5$ .

$- 1 + 1$

Étape 8.2.1.3.9

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$0$

Étape 8.2.1.4

Comme $0.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1}{2 x - 1}$

Étape 8.2.1.5

Divisez $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ par $2 x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$5 x$

$1$

Étape 8.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$

Étape 8.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 8.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 8.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$

Étape 8.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$

Étape 8.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $6 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$

Étape 8.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					+	$6 x^{2}$	-	$3 x$

Étape 8.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $6 x^{2} - 3 x$

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$

Étape 8.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$

Étape 8.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$3 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$

Étape 8.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 2 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$

Étape 8.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$
							-	$2 x$	+	$1$

Étape 8.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 2 x + 1$

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$
							+	$2 x$	-	$1$

Étape 8.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$3 x$	-	$1$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	+	$5 x^{2}$	-	$5 x$	+	$1$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$6 x^{2}$	-	$5 x$
					-	$6 x^{2}$	+	$3 x$
							-	$2 x$	+	$1$
							+	$2 x$	-	$1$
										$0$

Étape 8.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + 3 x - 1$

Étape 8.2.1.6

Écrivez $2 x^{3} + 5 x^{2} - 5 x + 1$ comme un ensemble de facteurs.

$(10 x + 1) ((2 x - 1) (x^{2} + 3 x - 1)) = 0$

Étape 8.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(10 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 3 x - 1) = 0$

Étape 9

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$10 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x^{2} + 3 x - 1 = 0$

Étape 10

Définissez $10 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.1

Définissez $10 x + 1$ égal à $0$ .

$10 x + 1 = 0$

Étape 10.2

Résolvez $10 x + 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$10 x = - 1$

Étape 10.2.2

Divisez chaque terme dans $10 x = - 1$ par $10$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.1

Divisez chaque terme dans $10 x = - 1$ par $10$ .

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 1}{10}$

Étape 10.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $10$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{10 x}{10} = \frac{- 1}{10}$

Étape 10.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{10}$

Étape 10.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 10.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{10}$

Étape 11

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 11.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 11.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 11.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 11.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 12

Définissez $x^{2} + 3 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.1

Définissez $x^{2} + 3 x - 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + 3 x - 1 = 0$

Étape 12.2

Résolvez $x^{2} + 3 x - 1 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 12.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 3$ et $c = - 1$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.2.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.3.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.2.3.1.3

Additionnez $9$ et $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Étape 12.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.4.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.2.4.1.3

Additionnez $9$ et $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Étape 12.2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 3 + \sqrt{13}}{2}$

Étape 12.2.4.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + \sqrt{13}}{2}$

Étape 12.2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $\sqrt{13}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \sqrt{13})}{2}$

Étape 12.2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - 1 (- \sqrt{13})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - \sqrt{13})}{2}$

Étape 12.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}$

Étape 12.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.5.1.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 12.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.2.5.1.3

Additionnez $9$ et $4$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2 \cdot 1}$

Étape 12.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{13}}{2}$

Étape 12.2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 3 - \sqrt{13}}{2}$

Étape 12.2.5.4

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - \sqrt{13}}{2}$

Étape 12.2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sqrt{13}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (\sqrt{13})}{2}$

Étape 12.2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - (\sqrt{13})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + \sqrt{13})}{2}$

Étape 12.2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Étape 12.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Étape 13

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(10 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} + 3 x - 1) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{10}, \frac{1}{2}, - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = - \frac{1}{10}, \frac{1}{2}, - \frac{3 - \sqrt{13}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{13}}{2}$

Forme décimale :

$x = - 0.1, 0.5, 0.30277563 \dots, - 3.30277563 \dots$

Étape 15