Pré-calcul Exemples

$x^{2} + 14 x + 45$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 9, \pm 15, \pm 45$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(- 5)}^{2} + 14 (- 5) + 45$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = - 5$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 5$ à la puissance $2$ .

$25 + 14 (- 5) + 45$

Étape 4.1.2

Multipliez $14$ par $- 5$ .

$25 - 70 + 45$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $70$ de $25$ .

$- 45 + 45$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 45$ et $45$ .

$0$

Étape 5

Comme $- 5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 5$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{2} + 14 x + 45}{x + 5}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 5$	$1$	$14$	$45$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 5$	$1$	$14$	$45$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(- 5)$ et placez le résultat de $(- 5)$ sous le terme suivant dans le dividende $(14)$ .

$- 5$	$1$	$14$	$45$
		$- 5$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 5$	$1$	$14$	$45$
		$- 5$
	$1$	$9$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(9)$ par le diviseur $(- 5)$ et placez le résultat de $(- 45)$ sous le terme suivant dans le dividende $(45)$ .

$- 5$	$1$	$14$	$45$
		$- 5$	$- 45$
	$1$	$9$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 5$	$1$	$14$	$45$
		$- 5$	$- 45$
	$1$	$9$	$0$

Étape 6.7

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$(1) x + 9$

Étape 6.8

Simplifiez le polynôme quotient.

$x + 9$

Étape 7

Soustrayez $9$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 9$

Étape 8

Le polynôme peut être écrit comme un ensemble de facteurs linéaires.

$(x + 5) (x + 9)$

Étape 9

Ce sont les racines (zéros) du polynôme $x^{2} + 14 x + 45$ .

$x = - 5, - 9$

Étape 10