Pré-calcul Exemples

$t^{4} - 12 t^{2} + 27$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 27$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 3, \pm 9, \pm 27$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(3)}^{4} - 12 {(3)}^{2} + 27$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $t = 3$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$81 - 12 {(3)}^{2} + 27$

Étape 4.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$81 - 12 \cdot 9 + 27$

Étape 4.1.3

Multipliez $- 12$ par $9$ .

$81 - 108 + 27$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Soustrayez $108$ de $81$ .

$- 27 + 27$

Étape 4.2.2

Additionnez $- 27$ et $27$ .

$0$

Étape 5

Comme $3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $t - 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{t^{4} - 12 t^{2} + 27}{t - 3}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(3)$ et placez le résultat de $(3)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$
	$1$	$3$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(3)$ par le diviseur $(3)$ et placez le résultat de $(9)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 12)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$
	$1$	$3$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$
	$1$	$3$	$- 3$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 3)$ par le diviseur $(3)$ et placez le résultat de $(- 9)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$	$- 9$
	$1$	$3$	$- 3$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$	$- 9$
	$1$	$3$	$- 3$	$- 9$

Étape 6.9

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 9)$ par le diviseur $(3)$ et placez le résultat de $(- 27)$ sous le terme suivant dans le dividende $(27)$ .

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$	$- 9$	$- 27$
	$1$	$3$	$- 3$	$- 9$

Étape 6.10

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$3$	$1$	$0$	$- 12$	$0$	$27$
		$3$	$9$	$- 9$	$- 27$
	$1$	$3$	$- 3$	$- 9$	$0$

Étape 6.11

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 t^{3} + 3 t^{2} + (- 3) t - 9$

Étape 6.12

Simplifiez le polynôme quotient.

$t^{3} + 3 t^{2} - 3 t - 9$

Étape 7

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 7.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(t - 3) (t^{3} + 3 t^{2}) - 3 t - 9$

Étape 7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(t - 3) + t^{2} (t + 3) - 3 (t + 3)$

$(t - 3) t^{2} (t + 3) - 3 (t + 3)$

Étape 8

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $t + 3$ .

$(t - 3) (t + 3) (t^{2} - 3)$

Étape 9

Remplacez $u = t^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} - 12 u + 27 = 0$

$u = t^{2}$

Étape 10

Factorisez $u^{2} - 12 u + 27$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 10.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $27$ et dont la somme est $- 12$ .

$- 9, - 3$

Étape 10.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 9) (u - 3) = 0$

Étape 11

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 9 = 0$

$u - 3 = 0$

Étape 12

Définissez $u - 9$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 12.1

Définissez $u - 9$ égal à $0$ .

$u - 9 = 0$

Étape 12.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 9$

Étape 13

Définissez $u - 3$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 13.1

Définissez $u - 3$ égal à $0$ .

$u - 3 = 0$

Étape 13.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 3$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 9) (u - 3) = 0$ vraie.

$u = 9, 3$

Étape 15

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = t^{2}$ dans l’équation résolue.

$t^{2} = 9$

${(t^{2})}^{1} = 3$

Étape 16

Résolvez la première équation pour $t$ .

$t^{2} = 9$

Étape 17

Résolvez l’équation pour $t$ .

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Étape 17.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{9}$

Étape 17.2

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 17.2.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$t = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 17.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$t = \pm 3$

Étape 17.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 17.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$t = 3$

Étape 17.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$t = - 3$

Étape 17.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$t = 3, - 3$

Étape 18

Résolvez la deuxième équation pour $t$ .

${(t^{2})}^{1} = 3$

Étape 19

Résolvez l’équation pour $t$ .

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Étape 19.1

Supprimez les parenthèses.

$t^{2} = 3$

Étape 19.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$t = \pm \sqrt{3}$

Étape 19.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 19.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$t = \sqrt{3}$

Étape 19.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$t = - \sqrt{3}$

Étape 19.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$t = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 20

La solution à $t^{4} - 12 t^{2} + 27 = 0$ est $t = 3, - 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$ .

$t = 3, - 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 21

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$t = 3, - 3, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Forme décimale :

$t = 3, - 3, 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots$

Étape 22