Pré-calcul Exemples

$x^{3} + 4 x - 5$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 5$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(1)}^{3} + 4 (1) - 5$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 4 (1) - 5$

Étape 4.1.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$1 + 4 - 5$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Additionnez $1$ et $4$ .

$5 - 5$

Étape 4.2.2

Soustrayez $5$ de $5$ .

$0$

Étape 5

Comme $1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + 4 x - 5}{x - 1}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$1$	$1$	$0$	$4$	$- 5$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$1$	$1$	$0$	$4$	$- 5$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(0)$ .

$1$	$1$	$0$	$4$	$- 5$
		$1$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$0$	$4$	$- 5$
		$1$
	$1$	$1$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(1)$ sous le terme suivant dans le dividende $(4)$ .

$1$	$1$	$0$	$4$	$- 5$
		$1$	$1$
	$1$	$1$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$0$	$4$	$- 5$
		$1$	$1$
	$1$	$1$	$5$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(5)$ par le diviseur $(1)$ et placez le résultat de $(5)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 5)$ .

$1$	$1$	$0$	$4$	$- 5$
		$1$	$1$	$5$
	$1$	$1$	$5$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$1$	$1$	$0$	$4$	$- 5$
		$1$	$1$	$5$
	$1$	$1$	$5$	$0$

Étape 6.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{2} + 1 x + 5$

Étape 6.10

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{2} + x + 5$

Étape 7

Résolvez l’équation pour déterminer toute racine restante.

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Étape 7.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 7.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 5)}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3

Simplifiez

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Étape 7.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Étape 7.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.3

Soustrayez $20$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.4

Réécrivez $- 19$ comme $- 1 (19)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (19)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Étape 7.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 7.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Étape 7.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.3

Soustrayez $20$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.4

Réécrivez $- 19$ comme $- 1 (19)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (19)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Étape 7.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{19}}{2}$

Étape 7.4.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{19}}{2}$

Étape 7.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $i \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{19})}{2}$

Étape 7.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- i \sqrt{19})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{19})}{2}$

Étape 7.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{19}}{2}$

Étape 7.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 7.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 5$ .

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Étape 7.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $5$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 20}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.3

Soustrayez $20$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 19}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.4

Réécrivez $- 19$ comme $- 1 (19)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 19}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (19)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{19}}{2 \cdot 1}$

Étape 7.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{19}}{2}$

Étape 7.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{19}}{2}$

Étape 7.5.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{19}}{2}$

Étape 7.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- i \sqrt{19}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{19})}{2}$

Étape 7.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (i \sqrt{19})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{19})}{2}$

Étape 7.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{19}}{2}$

Étape 7.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{19}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{19}}{2}$

Étape 8

Le polynôme peut être écrit comme un ensemble de facteurs linéaires.

$(x - 1) (x + \frac{1 - i \sqrt{19}}{2}) (x + \frac{1 + i \sqrt{19}}{2})$

Étape 9

Ce sont les racines (zéros) du polynôme $x^{3} + 4 x - 5$ .

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{19}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{19}}{2}$

Étape 10