Pré-calcul Exemples

$x^{3} + 3 x^{2} - 16 x - 48$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 16, \pm 24, \pm 48$

$q = \pm 1$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 16, \pm 24, \pm 48$

Étape 3

Remplacez les racines possibles une par une dans le polynôme afin de déterminer les racines réelles. Simplifiez pour vérifier que la valeur est $0$ , ce qui signifie que c’est une racine.

${(- 3)}^{3} + 3 {(- 3)}^{2} - 16 \cdot - 3 - 48$

Étape 4

Simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $x = - 3$ est une racine du polynôme.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$- 27 + 3 {(- 3)}^{2} - 16 \cdot - 3 - 48$

Étape 4.1.2

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

$- 27 + 3 \cdot 9 - 16 \cdot - 3 - 48$

Étape 4.1.3

Multipliez $3$ par $9$ .

$- 27 + 27 - 16 \cdot - 3 - 48$

Étape 4.1.4

Multipliez $- 16$ par $- 3$ .

$- 27 + 27 + 48 - 48$

Étape 4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.1

Additionnez $- 27$ et $27$ .

$0 + 48 - 48$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $48$ .

$48 - 48$

Étape 4.2.3

Soustrayez $48$ de $48$ .

$0$

Étape 5

Comme $- 3$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 3$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 16 x - 48}{x + 3}$

Étape 6

Ensuite, déterminez les racines du polynôme restant. Le degré du polynôme a été réduit de $1$ .

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Étape 6.1

Placez les nombres qui représentent le diviseur et le dividende dans une configuration de type division.

$- 3$	$1$	$3$	$- 16$	$- 48$

Étape 6.2

Le premier nombre dans le dividende $(1)$ est placé à la première position de la zone de résultat (sous la droite horizontale).

$- 3$	$1$	$3$	$- 16$	$- 48$

	$1$

Étape 6.3

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(1)$ par le diviseur $(- 3)$ et placez le résultat de $(- 3)$ sous le terme suivant dans le dividende $(3)$ .

$- 3$	$1$	$3$	$- 16$	$- 48$
		$- 3$
	$1$

Étape 6.4

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 3$	$1$	$3$	$- 16$	$- 48$
		$- 3$
	$1$	$0$

Étape 6.5

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(0)$ par le diviseur $(- 3)$ et placez le résultat de $(0)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 16)$ .

$- 3$	$1$	$3$	$- 16$	$- 48$
		$- 3$	$0$
	$1$	$0$

Étape 6.6

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 3$	$1$	$3$	$- 16$	$- 48$
		$- 3$	$0$
	$1$	$0$	$- 16$

Étape 6.7

Multipliez l’entrée la plus récente dans le résultat $(- 16)$ par le diviseur $(- 3)$ et placez le résultat de $(48)$ sous le terme suivant dans le dividende $(- 48)$ .

$- 3$	$1$	$3$	$- 16$	$- 48$
		$- 3$	$0$	$48$
	$1$	$0$	$- 16$

Étape 6.8

Ajoutez le produit de la multiplication et le nombre du dividende et placez le résultat à la position suivante sur la ligne de résultat.

$- 3$	$1$	$3$	$- 16$	$- 48$
		$- 3$	$0$	$48$
	$1$	$0$	$- 16$	$0$

Étape 6.9

Tous les nombres à l’exception du dernier deviennent les coefficients du polynôme quotient. La dernière valeur sur la ligne de résultat est le reste.

$1 x^{2} + 0 x - 16$

Étape 6.10

Simplifiez le polynôme quotient.

$x^{2} - 16$

Étape 7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$(x + 3) x^{2} - 4^{2}$

Étape 8

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$(x + 3) (x + 4) (x - 4)$

Étape 9

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 9.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 9.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{3} + 3 x^{2}) - 16 x - 48 = 0$

Étape 9.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$x^{2} (x + 3) - 16 (x + 3) = 0$

Étape 9.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x + 3$ .

$(x + 3) (x^{2} - 16) = 0$

Étape 9.3

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$(x + 3) (x^{2} - 4^{2}) = 0$

Étape 9.4

Factorisez.

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Étape 9.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$(x + 3) ((x + 4) (x - 4)) = 0$

Étape 9.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 3) (x + 4) (x - 4) = 0$

Étape 10

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 3 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 11

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 11.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 11.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 12

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 12.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 12.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 13

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 13.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 13.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 14

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 3) (x + 4) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = - 3, - 4, 4$

Étape 15