Pré-calcul Exemples

$4 x^{8} - 13 x^{4} + 9$

Étape 1

Réécrivez $x^{8}$ comme ${(x^{4})}^{2}$ .

$4 {(x^{4})}^{2} - 13 x^{4} + 9$

Étape 2

Laissez $u = x^{4}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{4}$ par $u$ .

$4 u^{2} - 13 u + 9$

Étape 3

Factorisez par regroupement.

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Étape 3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 9 = 36$ et dont la somme est $b = - 13$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $- 13$ à partir de $- 13 u$ .

$4 u^{2} - 13 (u) + 9$

Étape 3.1.2

Réécrivez $- 13$ comme $- 4$ plus $- 9$

$4 u^{2} + (- 4 - 9) u + 9$

Étape 3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 u^{2} - 4 u - 9 u + 9$

Étape 3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(4 u^{2} - 4 u) - 9 u + 9$

Étape 3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$4 u (u - 1) - 9 (u - 1)$

Étape 3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $u - 1$ .

$(u - 1) (4 u - 9)$

Étape 4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$(x^{4} - 1) (4 x^{4} - 9)$

Étape 5

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$({(x^{2})}^{2} - 1) (4 x^{4} - 9)$

Étape 6

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$({(x^{2})}^{2} - 1^{2}) (4 x^{4} - 9)$

Étape 7

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x^{2}$ et $b = 1$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1) (4 x^{4} - 9)$

Étape 8

Simplifiez

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Étape 8.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (x^{2} - 1^{2}) (4 x^{4} - 9)$

Étape 8.2

Factorisez.

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Étape 8.2.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

$(x^{2} + 1) ((x + 1) (x - 1)) (4 x^{4} - 9)$

Étape 8.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (4 x^{4} - 9)$

Étape 9

Réécrivez $4 x^{4}$ comme ${(2 x^{2})}^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) ({(2 x^{2})}^{2} - 9)$

Étape 10

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) ({(2 x^{2})}^{2} - 3^{2})$

Étape 11

Factorisez.

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Étape 11.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 x^{2}$ et $b = 3$ .

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) ((2 x^{2} + 3) (2 x^{2} - 3))$

Étape 11.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1) (2 x^{2} + 3) (2 x^{2} - 3)$