Pré-calcul Exemples

$4 a^{2} c^{2} - {(a^{2} - b^{2} + c^{2})}^{2}$

Étape 1

Réécrivez $4 a^{2} c^{2}$ comme ${(2 a c)}^{2}$ .

${(2 a c)}^{2} - {(a^{2} - b^{2} + c^{2})}^{2}$

Étape 2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 2 a c$ et $b = a^{2} - b^{2} + c^{2}$ .

$(2 a c + a^{2} - b^{2} + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez $2 a c + a^{2} - b^{2} + c^{2}$ en forme factorisée.

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Étape 3.1.1

Regroupez les termes.

$(- b^{2} + 2 a c + a^{2} + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Étape 3.1.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.1.2.1

Réorganisez les termes.

$(- b^{2} + a^{2} + 2 a c + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Étape 3.1.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 a c = 2 \cdot a \cdot c$

Étape 3.1.2.3

Réécrivez le polynôme.

$(- b^{2} + a^{2} + 2 \cdot a \cdot c + c^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Étape 3.1.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = a$ et $b = c$ .

$(- b^{2} + {(a + c)}^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Étape 3.1.3

Remettez dans l’ordre $- b^{2}$ et ${(a + c)}^{2}$ .

$({(a + c)}^{2} - b^{2}) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Étape 3.1.4

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = a + c$ et $b = b$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - (a^{2} - b^{2} + c^{2}))$

Étape 3.2

Appliquez la propriété distributive.

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - a^{2} - - b^{2} - c^{2})$

Étape 3.3

Multipliez $- - b^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - a^{2} + 1 b^{2} - c^{2})$

Étape 3.3.2

Multipliez $b^{2}$ par $1$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (2 a c - a^{2} + b^{2} - c^{2})$

Étape 3.4

Factorisez.

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Étape 3.4.1

Réécrivez $2 a c - a^{2} + b^{2} - c^{2}$ en forme factorisée.

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Étape 3.4.1.1

Regroupez les termes.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} + 2 a c - a^{2} - c^{2})$

Étape 3.4.1.2

Ajoutez des parenthèses.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} + 2 (a c) - a^{2} - c^{2})$

Étape 3.4.1.3

Laissez $u = a c$ . Remplacez toutes les occurrences de $a c$ par $u$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} + 2 u - a^{2} - c^{2})$

Étape 3.4.1.4

Factorisez $- 1$ à partir de $2 u - a^{2} - c^{2}$ .

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Étape 3.4.1.4.1

Déplacez $2 u$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - a^{2} - c^{2} + 2 u)$

Étape 3.4.1.4.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- a^{2}$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2}) - c^{2} + 2 u)$

Étape 3.4.1.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- c^{2}$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2}) - (c^{2}) + 2 u)$

Étape 3.4.1.4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $2 u$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2}) - (c^{2}) - (- 2 u))$

Étape 3.4.1.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (a^{2}) - (c^{2})$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2}) - (- 2 u))$

Étape 3.4.1.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (a^{2} + c^{2}) - (- 2 u)$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2} - 2 u))$

Étape 3.4.1.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $a c$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2} - 2 (a c)))$

Étape 3.4.1.6

Supprimez les parenthèses.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} + c^{2} - 2 a c))$

Étape 3.4.1.7

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 3.4.1.7.1

Réorganisez les termes.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} - 2 a c + c^{2}))$

Étape 3.4.1.7.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 a c = 2 \cdot a \cdot c$

Étape 3.4.1.7.3

Réécrivez le polynôme.

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - (a^{2} - 2 \cdot a \cdot c + c^{2}))$

Étape 3.4.1.7.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = a$ et $b = c$ .

$(a + c + b) (a + c - b) (b^{2} - {(a - c)}^{2})$

Étape 3.4.1.8

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = b$ et $b = a - c$ .

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - (a - c)))$

Étape 3.4.1.9

Simplifiez

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Étape 3.4.1.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - a - - c))$

Étape 3.4.1.9.2

Multipliez $- - c$ .

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Étape 3.4.1.9.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - a + 1 c))$

Étape 3.4.1.9.2.2

Multipliez $c$ par $1$ .

$(a + c + b) (a + c - b) ((b + a - c) (b - a + c))$

Étape 3.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(a + c + b) (a + c - b) (b + a - c) (b - a + c)$