Pré-calcul Exemples

$3 s^{3} - 4 s^{2} + 8 s + 8$

Étape 1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

Étape 2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}$

Étape 3

Remplacez $- 0.\overline{6}$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 0.\overline{6}$ est une racine du polynôme.

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Étape 3.1

Remplacez $- 0.\overline{6}$ dans le polynôme.

$3 {(- 0.\overline{6})}^{3} - 4 {(- 0.\overline{6})}^{2} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Étape 3.2

Élevez $- 0.\overline{6}$ à la puissance $3$ .

$3 \cdot - 0.\overline{296} - 4 {(- 0.\overline{6})}^{2} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Étape 3.3

Multipliez $3$ par $- 0.\overline{296}$ .

$- 0.\overline{8} - 4 {(- 0.\overline{6})}^{2} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Étape 3.4

Élevez $- 0.\overline{6}$ à la puissance $2$ .

$- 0.\overline{8} - 4 \cdot 0.\overline{4} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Étape 3.5

Multipliez $- 4$ par $0.\overline{4}$ .

$- 0.\overline{8} - 1.\overline{7} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Étape 3.6

Soustrayez $1.\overline{7}$ de $- 0.\overline{8}$ .

$- 2.\overline{6} + 8 \cdot - 0.\overline{6} + 8$

Étape 3.7

Multipliez $8$ par $- 0.\overline{6}$ .

$- 2.\overline{6} - 5.\overline{3} + 8$

Étape 3.8

Soustrayez $5.\overline{3}$ de $- 2.\overline{6}$ .

$- 8 + 8$

Étape 3.9

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$0$

Étape 4

Comme $- 0.\overline{6}$ est une racine connue, divisez le polynôme par $3 s + 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{3 s^{3} - 4 s^{2} + 8 s + 8}{3 s + 2}$

Étape 5

Divisez $3 s^{3} - 4 s^{2} + 8 s + 8$ par $3 s + 2$ .

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Étape 5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$3 s$

$2$

$3 s^{3}$

$4 s^{2}$

$8 s$

$8$

Étape 5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $3 s^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 s$ .

					$s^{2}$
	$3 s$	+	$2$		$3 s^{3}$	-	$4 s^{2}$	+	$8 s$	+	$8$

Étape 5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$s^{2}$
$3 s$	+	$2$		$3 s^{3}$	-	$4 s^{2}$	+	$8 s$	+	$8$
			+	$3 s^{3}$	+	$2 s^{2}$

Étape 5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $3 s^{3} + 2 s^{2}$

				$s^{2}$
$3 s$	+	$2$		$3 s^{3}$	-	$4 s^{2}$	+	$8 s$	+	$8$
			-	$3 s^{3}$	-	$2 s^{2}$

Étape 5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$s^{2}$
$3 s$	+	$2$		$3 s^{3}$	-	$4 s^{2}$	+	$8 s$	+	$8$
			-	$3 s^{3}$	-	$2 s^{2}$
					-	$6 s^{2}$

Étape 5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$s^{2}$
$3 s$	+	$2$		$3 s^{3}$	-	$4 s^{2}$	+	$8 s$	+	$8$
			-	$3 s^{3}$	-	$2 s^{2}$
					-	$6 s^{2}$	+	$8 s$

Étape 5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 6 s^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 s$ .

				$s^{2}$	-	$2 s$
$3 s$	+	$2$		$3 s^{3}$	-	$4 s^{2}$	+	$8 s$	+	$8$
			-	$3 s^{3}$	-	$2 s^{2}$
					-	$6 s^{2}$	+	$8 s$

Étape 5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$s^{2}$	-	$2 s$
$3 s$	+	$2$		$3 s^{3}$	-	$4 s^{2}$	+	$8 s$	+	$8$
			-	$3 s^{3}$	-	$2 s^{2}$
					-	$6 s^{2}$	+	$8 s$
					-	$6 s^{2}$	-	$4 s$

Étape 5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 6 s^{2} - 4 s$

				$s^{2}$	-	$2 s$
$3 s$	+	$2$		$3 s^{3}$	-	$4 s^{2}$	+	$8 s$	+	$8$
			-	$3 s^{3}$	-	$2 s^{2}$
					-	$6 s^{2}$	+	$8 s$
					+	$6 s^{2}$	+	$4 s$

Étape 5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$s^{2}$	-	$2 s$
$3 s$	+	$2$		$3 s^{3}$	-	$4 s^{2}$	+	$8 s$	+	$8$
			-	$3 s^{3}$	-	$2 s^{2}$
					-	$6 s^{2}$	+	$8 s$
					+	$6 s^{2}$	+	$4 s$
							+	$12 s$

Étape 5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$s^{2}$	-	$2 s$
$3 s$	+	$2$		$3 s^{3}$	-	$4 s^{2}$	+	$8 s$	+	$8$
			-	$3 s^{3}$	-	$2 s^{2}$
					-	$6 s^{2}$	+	$8 s$
					+	$6 s^{2}$	+	$4 s$
							+	$12 s$	+	$8$

Étape 5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $12 s$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $3 s$ .

				$s^{2}$	-	$2 s$	+	$4$
$3 s$	+	$2$		$3 s^{3}$	-	$4 s^{2}$	+	$8 s$	+	$8$
			-	$3 s^{3}$	-	$2 s^{2}$
					-	$6 s^{2}$	+	$8 s$
					+	$6 s^{2}$	+	$4 s$
							+	$12 s$	+	$8$

Étape 5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$s^{2}$	-	$2 s$	+	$4$
$3 s$	+	$2$		$3 s^{3}$	-	$4 s^{2}$	+	$8 s$	+	$8$
			-	$3 s^{3}$	-	$2 s^{2}$
					-	$6 s^{2}$	+	$8 s$
					+	$6 s^{2}$	+	$4 s$
							+	$12 s$	+	$8$
							+	$12 s$	+	$8$

Étape 5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $12 s + 8$

				$s^{2}$	-	$2 s$	+	$4$
$3 s$	+	$2$		$3 s^{3}$	-	$4 s^{2}$	+	$8 s$	+	$8$
			-	$3 s^{3}$	-	$2 s^{2}$
					-	$6 s^{2}$	+	$8 s$
					+	$6 s^{2}$	+	$4 s$
							+	$12 s$	+	$8$
							-	$12 s$	-	$8$

Étape 5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$s^{2}$	-	$2 s$	+	$4$
$3 s$	+	$2$		$3 s^{3}$	-	$4 s^{2}$	+	$8 s$	+	$8$
			-	$3 s^{3}$	-	$2 s^{2}$
					-	$6 s^{2}$	+	$8 s$
					+	$6 s^{2}$	+	$4 s$
							+	$12 s$	+	$8$
							-	$12 s$	-	$8$
										$0$

Étape 5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$s^{2} - 2 s + 4$

Étape 6

Écrivez $3 s^{3} - 4 s^{2} + 8 s + 8$ comme un ensemble de facteurs.

$(3 s + 2) (s^{2} - 2 s + 4)$