Pré-calcul Exemples

$6 x^{3} - 23 x^{2} + 26 x - 8$

Étape 1

Factorisez $6 x^{3} - 23 x^{2} + 26 x - 8$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 8, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

Étape 1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{3}, \pm 8, \pm 1.\overline{3}, \pm 4, \pm 2.\overline{6}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

Étape 1.3

Remplacez $0.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $0.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.3.1

Remplacez $0.5$ dans le polynôme.

$6 \cdot {0.5}^{3} - 23 \cdot {0.5}^{2} + 26 \cdot 0.5 - 8$

Étape 1.3.2

Élevez $0.5$ à la puissance $3$ .

$6 \cdot 0.125 - 23 \cdot {0.5}^{2} + 26 \cdot 0.5 - 8$

Étape 1.3.3

Multipliez $6$ par $0.125$ .

$0.75 - 23 \cdot {0.5}^{2} + 26 \cdot 0.5 - 8$

Étape 1.3.4

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$0.75 - 23 \cdot 0.25 + 26 \cdot 0.5 - 8$

Étape 1.3.5

Multipliez $- 23$ par $0.25$ .

$0.75 - 5.75 + 26 \cdot 0.5 - 8$

Étape 1.3.6

Soustrayez $5.75$ de $0.75$ .

$- 5 + 26 \cdot 0.5 - 8$

Étape 1.3.7

Multipliez $26$ par $0.5$ .

$- 5 + 13 - 8$

Étape 1.3.8

Additionnez $- 5$ et $13$ .

$8 - 8$

Étape 1.3.9

Soustrayez $8$ de $8$ .

$0$

Étape 1.4

Comme $0.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{6 x^{3} - 23 x^{2} + 26 x - 8}{2 x - 1}$

Étape 1.5

Divisez $6 x^{3} - 23 x^{2} + 26 x - 8$ par $2 x - 1$ .

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Étape 1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$1$

$6 x^{3}$

$23 x^{2}$

$26 x$

$8$

Étape 1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $6 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$3 x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	+	$26 x$	-	$8$

Étape 1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	+	$26 x$	-	$8$
			+	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$

Étape 1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $6 x^{3} - 3 x^{2}$

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	+	$26 x$	-	$8$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$

Étape 1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	+	$26 x$	-	$8$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$

Étape 1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$3 x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	+	$26 x$	-	$8$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$26 x$

Étape 1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 20 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$10 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	+	$26 x$	-	$8$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$26 x$

Étape 1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x^{2}$	-	$10 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	+	$26 x$	-	$8$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$26 x$
					-	$20 x^{2}$	+	$10 x$

Étape 1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 20 x^{2} + 10 x$

				$3 x^{2}$	-	$10 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	+	$26 x$	-	$8$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$20 x^{2}$	-	$10 x$

Étape 1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x^{2}$	-	$10 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	+	$26 x$	-	$8$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$20 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$16 x$

Étape 1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$3 x^{2}$	-	$10 x$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	+	$26 x$	-	$8$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$20 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$16 x$	-	$8$

Étape 1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $16 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$3 x^{2}$	-	$10 x$	+	$8$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	+	$26 x$	-	$8$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$20 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$16 x$	-	$8$

Étape 1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$3 x^{2}$	-	$10 x$	+	$8$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	+	$26 x$	-	$8$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$20 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$16 x$	-	$8$
							+	$16 x$	-	$8$

Étape 1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $16 x - 8$

				$3 x^{2}$	-	$10 x$	+	$8$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	+	$26 x$	-	$8$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$20 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$16 x$	-	$8$
							-	$16 x$	+	$8$

Étape 1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$3 x^{2}$	-	$10 x$	+	$8$
$2 x$	-	$1$		$6 x^{3}$	-	$23 x^{2}$	+	$26 x$	-	$8$
			-	$6 x^{3}$	+	$3 x^{2}$
					-	$20 x^{2}$	+	$26 x$
					+	$20 x^{2}$	-	$10 x$
							+	$16 x$	-	$8$
							-	$16 x$	+	$8$
										$0$

Étape 1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$3 x^{2} - 10 x + 8$

Étape 1.6

Écrivez $6 x^{3} - 23 x^{2} + 26 x - 8$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x - 1) (3 x^{2} - 10 x + 8)$

Étape 2

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 8 = 24$ et dont la somme est $b = - 10$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $- 10$ à partir de $- 10 x$ .

$(2 x - 1) (3 x^{2} - 10 (x) + 8)$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez $- 10$ comme $- 4$ plus $- 6$

$(2 x - 1) (3 x^{2} + (- 4 - 6) x + 8)$

Étape 2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x - 1) (3 x^{2} - 4 x - 6 x + 8)$

Étape 2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(2 x - 1) ((3 x^{2} - 4 x) - 6 x + 8)$

Étape 2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(2 x - 1) (x (3 x - 4) - 2 (3 x - 4))$

Étape 2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 x - 4$ .

$(2 x - 1) ((3 x - 4) (x - 2))$

Étape 2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(2 x - 1) (3 x - 4) (x - 2)$