Pré-calcul Exemples

$f (x) = - x^{6} + 3 x^{4} + 4 x^{2}$

Étape 1

Définissez $- x^{6} + 3 x^{4} + 4 x^{2}$ égal à $0$ .

$- x^{6} + 3 x^{4} + 4 x^{2} = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Factorisez $- x^{2}$ à partir de $- x^{6} + 3 x^{4} + 4 x^{2}$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $- x^{2}$ à partir de $- x^{6}$ .

$- x^{2} x^{4} + 3 x^{4} + 4 x^{2} = 0$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $- x^{2}$ à partir de $3 x^{4}$ .

$- x^{2} x^{4} - x^{2} (- 3 x^{2}) + 4 x^{2} = 0$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $- x^{2}$ à partir de $4 x^{2}$ .

$- x^{2} x^{4} - x^{2} (- 3 x^{2}) - x^{2} \cdot - 4 = 0$

Étape 2.1.1.4

Factorisez $- x^{2}$ à partir de $- x^{2} (x^{4}) - x^{2} (- 3 x^{2})$ .

$- x^{2} (x^{4} - 3 x^{2}) - x^{2} \cdot - 4 = 0$

Étape 2.1.1.5

Factorisez $- x^{2}$ à partir de $- x^{2} (x^{4} - 3 x^{2}) - x^{2} (- 4)$ .

$- x^{2} (x^{4} - 3 x^{2} - 4) = 0$

Étape 2.1.2

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x^{2} ({(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} - 4) = 0$

Étape 2.1.3

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- x^{2} (u^{2} - 3 u - 4) = 0$

Étape 2.1.4

Factorisez $u^{2} - 3 u - 4$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.1.4.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 4$ et dont la somme est $- 3$ .

$- 4, 1$

Étape 2.1.4.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$- x^{2} ((u - 4) (u + 1)) = 0$

Étape 2.1.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- x^{2} ((x^{2} - 4) (x^{2} + 1)) = 0$

Étape 2.1.6

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- x^{2} ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 1)) = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez.

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Étape 2.1.7.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$- x^{2} ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)) = 0$

Étape 2.1.7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$- x^{2} (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 2.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 2.3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 2.4

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.4.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.6

Définissez $x^{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x^{2} + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Étape 2.6.2

Résolvez $x^{2} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.6.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 1$

Étape 2.6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 2.6.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 2.6.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.6.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 2.6.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 2.6.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- x^{2} (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2, 2, i, - i$

Étape 3