Pré-calcul Exemples

$f (x) = 9 x^{4} + 28 x^{3} + 48 x^{2} + 140 x + 15$

Étape 1

Définissez $9 x^{4} + 28 x^{3} + 48 x^{2} + 140 x + 15$ égal à $0$ .

$9 x^{4} + 28 x^{3} + 48 x^{2} + 140 x + 15 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$28 x^{3} + 140 x + 9 x^{4} + 48 x^{2} + 15 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $28 x$ à partir de $28 x^{3} + 140 x$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $28 x$ à partir de $28 x^{3}$ .

$28 x (x^{2}) + 140 x + 9 x^{4} + 48 x^{2} + 15 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $28 x$ à partir de $140 x$ .

$28 x (x^{2}) + 28 x (5) + 9 x^{4} + 48 x^{2} + 15 = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $28 x$ à partir de $28 x (x^{2}) + 28 x (5)$ .

$28 x (x^{2} + 5) + 9 x^{4} + 48 x^{2} + 15 = 0$

Étape 2.1.3

Factorisez $3$ à partir de $9 x^{4} + 48 x^{2} + 15$ .

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Étape 2.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $9 x^{4}$ .

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 x^{4}) + 48 x^{2} + 15 = 0$

Étape 2.1.3.2

Factorisez $3$ à partir de $48 x^{2}$ .

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 x^{4}) + 3 (16 x^{2}) + 15 = 0$

Étape 2.1.3.3

Factorisez $3$ à partir de $15$ .

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 x^{4}) + 3 (16 x^{2}) + 3 (5) = 0$

Étape 2.1.3.4

Factorisez $3$ à partir de $3 (3 x^{4}) + 3 (16 x^{2})$ .

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 x^{4} + 16 x^{2}) + 3 (5) = 0$

Étape 2.1.3.5

Factorisez $3$ à partir de $3 (3 x^{4} + 16 x^{2}) + 3 (5)$ .

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 x^{4} + 16 x^{2} + 5) = 0$

Étape 2.1.4

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 {(x^{2})}^{2} + 16 x^{2} + 5) = 0$

Étape 2.1.5

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 u^{2} + 16 u + 5) = 0$

Étape 2.1.6

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.6.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot 5 = 15$ et dont la somme est $b = 16$ .

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Étape 2.1.6.1.1

Factorisez $16$ à partir de $16 u$ .

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 u^{2} + 16 (u) + 5) = 0$

Étape 2.1.6.1.2

Réécrivez $16$ comme $1$ plus $15$

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 u^{2} + (1 + 15) u + 5) = 0$

Étape 2.1.6.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 u^{2} + 1 u + 15 u + 5) = 0$

Étape 2.1.6.1.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 u^{2} + u + 15 u + 5) = 0$

Étape 2.1.6.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.6.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$28 x (x^{2} + 5) + 3 ((3 u^{2} + u) + 15 u + 5) = 0$

Étape 2.1.6.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (u (3 u + 1) + 5 (3 u + 1)) = 0$

Étape 2.1.6.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $3 u + 1$ .

$28 x (x^{2} + 5) + 3 ((3 u + 1) (u + 5)) = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez.

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Étape 2.1.7.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$28 x (x^{2} + 5) + 3 ((3 x^{2} + 1) (x^{2} + 5)) = 0$

Étape 2.1.7.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 x^{2} + 1) (x^{2} + 5) = 0$

Étape 2.1.8

Factorisez $x^{2} + 5$ à partir de $28 x (x^{2} + 5) + 3 (3 x^{2} + 1) (x^{2} + 5)$ .

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Étape 2.1.8.1

Factorisez $x^{2} + 5$ à partir de $28 x (x^{2} + 5)$ .

$(x^{2} + 5) (28 x) + 3 (3 x^{2} + 1) (x^{2} + 5) = 0$

Étape 2.1.8.2

Factorisez $x^{2} + 5$ à partir de $3 (3 x^{2} + 1) (x^{2} + 5)$ .

$(x^{2} + 5) (28 x) + (x^{2} + 5) (3 (3 x^{2} + 1)) = 0$

Étape 2.1.8.3

Factorisez $x^{2} + 5$ à partir de $(x^{2} + 5) (28 x) + (x^{2} + 5) (3 (3 x^{2} + 1))$ .

$(x^{2} + 5) (28 x + 3 (3 x^{2} + 1)) = 0$

Étape 2.1.9

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} + 5) (28 x + 3 (3 x^{2}) + 3 \cdot 1) = 0$

Étape 2.1.10

Multipliez $3$ par $3$ .

$(x^{2} + 5) (28 x + 9 x^{2} + 3 \cdot 1) = 0$

Étape 2.1.11

Multipliez $3$ par $1$ .

$(x^{2} + 5) (28 x + 9 x^{2} + 3) = 0$

Étape 2.1.12

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x^{2} + 5) (9 x^{2} + 28 x + 3) = 0$

Étape 2.1.13

Factorisez.

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Étape 2.1.13.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.13.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 9 \cdot 3 = 27$ et dont la somme est $b = 28$ .

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Étape 2.1.13.1.1.1

Factorisez $28$ à partir de $28 x$ .

$(x^{2} + 5) (9 x^{2} + 28 (x) + 3) = 0$

Étape 2.1.13.1.1.2

Réécrivez $28$ comme $1$ plus $27$

$(x^{2} + 5) (9 x^{2} + (1 + 27) x + 3) = 0$

Étape 2.1.13.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} + 5) (9 x^{2} + 1 x + 27 x + 3) = 0$

Étape 2.1.13.1.1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$(x^{2} + 5) (9 x^{2} + x + 27 x + 3) = 0$

Étape 2.1.13.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.13.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{2} + 5) ((9 x^{2} + x) + 27 x + 3) = 0$

Étape 2.1.13.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x^{2} + 5) (x (9 x + 1) + 3 (9 x + 1)) = 0$

Étape 2.1.13.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $9 x + 1$ .

$(x^{2} + 5) ((9 x + 1) (x + 3)) = 0$

Étape 2.1.13.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} + 5) (9 x + 1) (x + 3) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

$9 x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x^{2} + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x^{2} + 5$ égal à $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $x^{2} + 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 5$

Étape 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

Étape 2.3.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Étape 2.3.2.3.1

Réécrivez $- 5$ comme $- 1 (5)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Étape 2.3.2.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (5)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Étape 2.3.2.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \sqrt{5}$

Étape 2.3.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i \sqrt{5}$

Étape 2.3.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i \sqrt{5}$

Étape 2.3.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Étape 2.4

Définissez $9 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $9 x + 1$ égal à $0$ .

$9 x + 1 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $9 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$9 x = - 1$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $9 x = - 1$ par $9$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $9 x = - 1$ par $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $9$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{9}$

Étape 2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{9}$

Étape 2.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} + 5) (9 x + 1) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}, - \frac{1}{9}, - 3$

Étape 3