Pré-calcul Exemples

$f (x) = 2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{13}{2} x^{2} - 4 x - \frac{7}{2})$

Étape 1

Définissez $2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{13}{2} x^{2} - 4 x - \frac{7}{2})$ égal à $0$ .

$2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{13}{2} x^{2} - 4 x - \frac{7}{2}) = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Simplifiez $2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{13}{2} x^{2} - 4 x - \frac{7}{2})$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{13}{2}$ .

$2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{x^{2} \cdot 13}{2} - 4 x - \frac{7}{2}) = 0$

Étape 2.1.1.2

Déplacez $13$ à gauche de $x^{2}$ .

$2 (x^{4} - 8 x^{3} - \frac{13 x^{2}}{2} - 4 x - \frac{7}{2}) = 0$

Étape 2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{4} + 2 (- 8 x^{3}) + 2 (- \frac{13 x^{2}}{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

Étape 2.1.3

Simplifiez

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Étape 2.1.3.1

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$2 x^{4} - 16 x^{3} + 2 (- \frac{13 x^{2}}{2}) + 2 (- 4 x) + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

Étape 2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{13 x^{2}}{2}$ dans le numérateur.

$2 x^{4} - 16 x^{3} + 2 \frac{- 13 x^{2}}{2} + 2 (- 4 x) + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

Étape 2.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{4} - 16 x^{3} + 2 \frac{- 13 x^{2}}{2} + 2 (- 4 x) + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

Étape 2.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{4} - 16 x^{3} - 13 x^{2} + 2 (- 4 x) + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$2 x^{4} - 16 x^{3} - 13 x^{2} - 8 x + 2 (- \frac{7}{2}) = 0$

Étape 2.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{7}{2}$ dans le numérateur.

$2 x^{4} - 16 x^{3} - 13 x^{2} - 8 x + 2 (\frac{- 7}{2}) = 0$

Étape 2.1.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{4} - 16 x^{3} - 13 x^{2} - 8 x + 2 (\frac{- 7}{2}) = 0$

Étape 2.1.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{4} - 16 x^{3} - 13 x^{2} - 8 x - 7 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Regroupez les termes.

$- 16 x^{3} - 8 x + 2 x^{4} - 13 x^{2} - 7 = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $- 8 x$ à partir de $- 16 x^{3} - 8 x$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $- 8 x$ à partir de $- 16 x^{3}$ .

$- 8 x (2 x^{2}) - 8 x + 2 x^{4} - 13 x^{2} - 7 = 0$

Étape 2.2.2.2

Factorisez $- 8 x$ à partir de $- 8 x$ .

$- 8 x (2 x^{2}) - 8 x \cdot 1 + 2 x^{4} - 13 x^{2} - 7 = 0$

Étape 2.2.2.3

Factorisez $- 8 x$ à partir de $- 8 x (2 x^{2}) - 8 x (1)$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 x^{4} - 13 x^{2} - 7 = 0$

Étape 2.2.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 {(x^{2})}^{2} - 13 x^{2} - 7 = 0$

Étape 2.2.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} - 13 u - 7 = 0$

Étape 2.2.5

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.2.5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 7 = - 14$ et dont la somme est $b = - 13$ .

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Étape 2.2.5.1.1

Factorisez $- 13$ à partir de $- 13 u$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} - 13 u - 7 = 0$

Étape 2.2.5.1.2

Réécrivez $- 13$ comme $1$ plus $- 14$

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} + (1 - 14) u - 7 = 0$

Étape 2.2.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} + 1 u - 14 u - 7 = 0$

Étape 2.2.5.1.4

Multipliez $u$ par $1$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} + u - 14 u - 7 = 0$

Étape 2.2.5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.2.5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + 2 u^{2} + u - 14 u - 7 = 0$

Étape 2.2.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + u (2 u + 1) - 7 (2 u + 1) = 0$

Étape 2.2.5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u + 1$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + (2 u + 1) (u - 7) = 0$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$- 8 x (2 x^{2} + 1) + (2 x^{2} + 1) (x^{2} - 7) = 0$

Étape 2.2.7

Factorisez $2 x^{2} + 1$ à partir de $- 8 x (2 x^{2} + 1) + (2 x^{2} + 1) (x^{2} - 7)$ .

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Étape 2.2.7.1

Factorisez $2 x^{2} + 1$ à partir de $- 8 x (2 x^{2} + 1)$ .

$(2 x^{2} + 1) (- 8 x) + (2 x^{2} + 1) (x^{2} - 7) = 0$

Étape 2.2.7.2

Factorisez $2 x^{2} + 1$ à partir de $(2 x^{2} + 1) (- 8 x) + (2 x^{2} + 1) (x^{2} - 7)$ .

$(2 x^{2} + 1) (- 8 x + x^{2} - 7) = 0$

Étape 2.2.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$(2 x^{2} + 1) (x^{2} - 8 x - 7) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x^{2} + 1 = 0$

$x^{2} - 8 x - 7 = 0$

Étape 2.4

Définissez $2 x^{2} + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $2 x^{2} + 1$ égal à $0$ .

$2 x^{2} + 1 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $2 x^{2} + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{2} = - 1$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x^{2} = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.4.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.4.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x^{2} = - \frac{1}{2}$

Étape 2.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$

Étape 2.4.2.4

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.4.2.4.1

Réécrivez $- \frac{1}{2}$ comme $i^{2} \frac{1^{2}}{2}$ .

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Étape 2.4.2.4.1.1

Réécrivez $- 1$ comme $i^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1}{2}}$

Étape 2.4.2.4.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{i^{2} \frac{1^{2}}{2}}$

Étape 2.4.2.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1^{2}}{2}}$

Étape 2.4.2.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \pm i \sqrt{\frac{1}{2}}$

Étape 2.4.2.4.4

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Étape 2.4.2.4.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm i \frac{1}{\sqrt{2}}$

Étape 2.4.2.4.6

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Étape 2.4.2.4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.4.2.4.7.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 2.4.2.4.7.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 2.4.2.4.7.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 2.4.2.4.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 2.4.2.4.7.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 2.4.2.4.7.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 2.4.2.4.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 2.4.2.4.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 2.4.2.4.7.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.4.2.4.7.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.4.2.4.7.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 2.4.2.4.7.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 2.4.2.4.7.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm i \frac{\sqrt{2}}{2}$

Étape 2.4.2.4.8

Associez $i$ et $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$x = \pm \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.4.2.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.4.2.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.4.2.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.4.2.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}$

Étape 2.5

Définissez $x^{2} - 8 x - 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x^{2} - 8 x - 7$ égal à $0$ .

$x^{2} - 8 x - 7 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $x^{2} - 8 x - 7 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.5.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 8$ et $c = - 7$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3

Simplifiez

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Étape 2.5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.2.3.1.1

Élevez $- 8$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot - 7$ .

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Étape 2.5.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $- 7$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 28}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.3

Additionnez $64$ et $28$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{92}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.4

Réécrivez $92$ comme $2^{2} \cdot 23$ .

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Étape 2.5.2.3.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $92$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{4 (23)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 23}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{23}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{8 \pm 2 \sqrt{23}}{2}$

Étape 2.5.2.3.3

Simplifiez $\frac{8 \pm 2 \sqrt{23}}{2}$ .

$x = 4 \pm \sqrt{23}$

Étape 2.5.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 4 + \sqrt{23}, 4 - \sqrt{23}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x^{2} + 1) (x^{2} - 8 x - 7) = 0$ vraie.

$x = \frac{i \sqrt{2}}{2}, - \frac{i \sqrt{2}}{2}, 4 + \sqrt{23}, 4 - \sqrt{23}$

Étape 3