Pré-calcul Exemples

$f (x) = 2 x^{4} + 3 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 15$

Étape 1

Définissez $2 x^{4} + 3 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 15$ égal à $0$ .

$2 x^{4} + 3 x^{3} - 11 x^{2} - 9 x + 15 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$3 x^{3} - 9 x + 2 x^{4} - 11 x^{2} + 15 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{3} - 9 x$ .

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{3}$ .

$3 x (x^{2}) - 9 x + 2 x^{4} - 11 x^{2} + 15 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $3 x$ à partir de $- 9 x$ .

$3 x (x^{2}) + 3 x (- 3) + 2 x^{4} - 11 x^{2} + 15 = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (x^{2}) + 3 x (- 3)$ .

$3 x (x^{2} - 3) + 2 x^{4} - 11 x^{2} + 15 = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$3 x (x^{2} - 3) + 2 {(x^{2})}^{2} - 11 x^{2} + 15 = 0$

Étape 2.1.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$3 x (x^{2} - 3) + 2 u^{2} - 11 u + 15 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot 15 = 30$ et dont la somme est $b = - 11$ .

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Étape 2.1.5.1.1

Factorisez $- 11$ à partir de $- 11 u$ .

$3 x (x^{2} - 3) + 2 u^{2} - 11 u + 15 = 0$

Étape 2.1.5.1.2

Réécrivez $- 11$ comme $- 5$ plus $- 6$

$3 x (x^{2} - 3) + 2 u^{2} + (- 5 - 6) u + 15 = 0$

Étape 2.1.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x (x^{2} - 3) + 2 u^{2} - 5 u - 6 u + 15 = 0$

Étape 2.1.5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$3 x (x^{2} - 3) + 2 u^{2} - 5 u - 6 u + 15 = 0$

Étape 2.1.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$3 x (x^{2} - 3) + u (2 u - 5) - 3 (2 u - 5) = 0$

Étape 2.1.5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 u - 5$ .

$3 x (x^{2} - 3) + (2 u - 5) (u - 3) = 0$

Étape 2.1.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$3 x (x^{2} - 3) + (2 x^{2} - 5) (x^{2} - 3) = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez $x^{2} - 3$ à partir de $3 x (x^{2} - 3) + (2 x^{2} - 5) (x^{2} - 3)$ .

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Étape 2.1.7.1

Factorisez $x^{2} - 3$ à partir de $3 x (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} - 3) (3 x) + (2 x^{2} - 5) (x^{2} - 3) = 0$

Étape 2.1.7.2

Factorisez $x^{2} - 3$ à partir de $(2 x^{2} - 5) (x^{2} - 3)$ .

$(x^{2} - 3) (3 x) + (x^{2} - 3) (2 x^{2} - 5) = 0$

Étape 2.1.7.3

Factorisez $x^{2} - 3$ à partir de $(x^{2} - 3) (3 x) + (x^{2} - 3) (2 x^{2} - 5)$ .

$(x^{2} - 3) (3 x + 2 x^{2} - 5) = 0$

Étape 2.1.8

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x^{2} - 3) (3 u + 2 u^{2} - 5) = 0$

Étape 2.1.9

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.1.9.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x^{2} - 3) (2 u^{2} + 3 u - 5) = 0$

Étape 2.1.9.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 5 = - 10$ et dont la somme est $b = 3$ .

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Étape 2.1.9.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 u$ .

$(x^{2} - 3) (2 u^{2} + 3 (u) - 5) = 0$

Étape 2.1.9.2.2

Réécrivez $3$ comme $- 2$ plus $5$

$(x^{2} - 3) (2 u^{2} + (- 2 + 5) u - 5) = 0$

Étape 2.1.9.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} - 3) (2 u^{2} - 2 u + 5 u - 5) = 0$

Étape 2.1.9.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.1.9.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{2} - 3) ((2 u^{2} - 2 u) + 5 u - 5) = 0$

Étape 2.1.9.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x^{2} - 3) (2 u (u - 1) + 5 (u - 1)) = 0$

Étape 2.1.9.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $u - 1$ .

$(x^{2} - 3) ((u - 1) (2 u + 5)) = 0$

Étape 2.1.10

Factorisez.

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Étape 2.1.10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x^{2} - 3) ((x - 1) (2 x + 5)) = 0$

Étape 2.1.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} - 3) (x - 1) (2 x + 5) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

$2 x + 5 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x^{2} - 3$ égal à $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $x^{2} - 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 3$

Étape 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 2.3.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 2.3.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 2.3.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 2.3.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 2.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 2.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 2.5

Définissez $2 x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $2 x + 5$ égal à $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Étape 2.5.2

Résolvez $2 x + 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.5.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 5$

Étape 2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 5$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Étape 2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5}{2}$

Étape 2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} - 3) (x - 1) (2 x + 5) = 0$ vraie.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 1, - \frac{5}{2}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 1, - \frac{5}{2}$

Forme décimale :

$x = 1.73205080 \dots, - 1.73205080 \dots, 1, - 2.5$

Forme de nombre mixte :

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 1, - 2 \frac{1}{2}$

Étape 4