Pré-calcul Exemples

$f (x) = 2 x^{4} - x^{3} - 42 x^{2} + 16 x + 160$

Étape 1

Définissez $2 x^{4} - x^{3} - 42 x^{2} + 16 x + 160$ égal à $0$ .

$2 x^{4} - x^{3} - 42 x^{2} + 16 x + 160 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Regroupez les termes.

$2 x^{4} + 16 x - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Étape 2.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{4} + 16 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{4}$ .

$2 x (x^{3}) + 16 x - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Étape 2.1.2.2

Factorisez $2 x$ à partir de $16 x$ .

$2 x (x^{3}) + 2 x (8) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Étape 2.1.2.3

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{3}) + 2 x (8)$ .

$2 x (x^{3} + 8) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Étape 2.1.3

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$2 x (x^{3} + 2^{3}) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Étape 2.1.4

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$2 x ((x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Étape 2.1.5

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.1

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.5.1.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 x ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Étape 2.1.5.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$2 x ((x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Étape 2.1.5.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) - x^{3} - 42 x^{2} + 160 = 0$

Étape 2.1.6

Factorisez $- x^{3} - 42 x^{2} + 160$ en utilisant le test des racines rationnelles.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.6.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 160, \pm 2, \pm 80, \pm 4, \pm 40, \pm 5, \pm 32, \pm 8, \pm 20, \pm 10, \pm 16$

$q = \pm 1$

Étape 2.1.6.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 160, \pm 2, \pm 80, \pm 4, \pm 40, \pm 5, \pm 32, \pm 8, \pm 20, \pm 10, \pm 16$

Étape 2.1.6.3

Remplacez $- 2$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 2$ est une racine du polynôme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.6.3.1

Remplacez $- 2$ dans le polynôme.

$- {(- 2)}^{3} - 42 {(- 2)}^{2} + 160$

Étape 2.1.6.3.2

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- - 8 - 42 {(- 2)}^{2} + 160$

Étape 2.1.6.3.3

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$8 - 42 {(- 2)}^{2} + 160$

Étape 2.1.6.3.4

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$8 - 42 \cdot 4 + 160$

Étape 2.1.6.3.5

Multipliez $- 42$ par $4$ .

$8 - 168 + 160$

Étape 2.1.6.3.6

Soustrayez $168$ de $8$ .

$- 160 + 160$

Étape 2.1.6.3.7

Additionnez $- 160$ et $160$ .

$0$

Étape 2.1.6.4

Comme $- 2$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 2$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{- x^{3} - 42 x^{2} + 160}{x + 2}$

Étape 2.1.6.5

Divisez $- x^{3} - 42 x^{2} + 160$ par $x + 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.6.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$42 x^{2}$

$0 x$

$160$

Étape 2.1.6.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				-	$x^{2}$
	$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$

Étape 2.1.6.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 2.1.6.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- x^{3} - 2 x^{2}$

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 2.1.6.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$

Étape 2.1.6.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x^{2}$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 2.1.6.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 40 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$40 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$

Étape 2.1.6.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$	-	$40 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					-	$40 x^{2}$	-	$80 x$

Étape 2.1.6.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 40 x^{2} - 80 x$

			-	$x^{2}$	-	$40 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$

Étape 2.1.6.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$	-	$40 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$
							+	$80 x$

Étape 2.1.6.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

			-	$x^{2}$	-	$40 x$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$
							+	$80 x$	+	$160$

Étape 2.1.6.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $80 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

			-	$x^{2}$	-	$40 x$	+	$80$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$
							+	$80 x$	+	$160$

Étape 2.1.6.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

			-	$x^{2}$	-	$40 x$	+	$80$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$
							+	$80 x$	+	$160$
							+	$80 x$	+	$160$

Étape 2.1.6.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $80 x + 160$

			-	$x^{2}$	-	$40 x$	+	$80$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$
							+	$80 x$	+	$160$
							-	$80 x$	-	$160$

Étape 2.1.6.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

			-	$x^{2}$	-	$40 x$	+	$80$
$x$	+	$2$	-	$x^{3}$	-	$42 x^{2}$	+	$0 x$	+	$160$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$
					-	$40 x^{2}$	+	$0 x$
					+	$40 x^{2}$	+	$80 x$
							+	$80 x$	+	$160$
							-	$80 x$	-	$160$
										$0$

Étape 2.1.6.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$- x^{2} - 40 x + 80$

Étape 2.1.6.6

Écrivez $- x^{3} - 42 x^{2} + 160$ comme un ensemble de facteurs.

$2 x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + (x + 2) (- x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Étape 2.1.7

Factorisez $x + 2$ à partir de $2 x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) + (x + 2) (- x^{2} - 40 x + 80)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.7.1

Factorisez $x + 2$ à partir de $2 x (x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ .

$(x + 2) (2 x (x^{2} - 2 x + 4)) + (x + 2) (- x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Étape 2.1.7.2

Factorisez $x + 2$ à partir de $(x + 2) (2 x (x^{2} - 2 x + 4)) + (x + 2) (- x^{2} - 40 x + 80)$ .

$(x + 2) (2 x (x^{2} - 2 x + 4) - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Étape 2.1.8

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 2) (2 x \cdot x^{2} + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4 - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Étape 2.1.9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.9.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.9.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$(x + 2) (2 (x^{2} x) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4 - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Étape 2.1.9.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.9.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$(x + 2) (2 (x^{2} x) + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4 - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Étape 2.1.9.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$(x + 2) (2 x^{2 + 1} + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4 - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Étape 2.1.9.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$(x + 2) (2 x^{3} + 2 x (- 2 x) + 2 x \cdot 4 - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Étape 2.1.9.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$(x + 2) (2 x^{3} + 2 \cdot (- 2 x \cdot x) + 2 x \cdot 4 - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Étape 2.1.9.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$(x + 2) (2 x^{3} + 2 \cdot (- 2 x \cdot x) + 8 x - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Étape 2.1.10

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.10.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.10.1.1

Déplacez $x$ .

$(x + 2) (2 x^{3} + 2 \cdot (- 2 (x \cdot x)) + 8 x - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Étape 2.1.10.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x + 2) (2 x^{3} + 2 \cdot (- 2 x^{2}) + 8 x - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Étape 2.1.10.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$(x + 2) (2 x^{3} - 4 x^{2} + 8 x - x^{2} - 40 x + 80) = 0$

Étape 2.1.11

Soustrayez $x^{2}$ de $- 4 x^{2}$ .

$(x + 2) (2 x^{3} - 5 x^{2} + 8 x - 40 x + 80) = 0$

Étape 2.1.12

Soustrayez $40 x$ de $8 x$ .

$(x + 2) (2 x^{3} - 5 x^{2} - 32 x + 80) = 0$

Étape 2.1.13

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.13.1

Réécrivez $2 x^{3} - 5 x^{2} - 32 x + 80$ en forme factorisée.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.13.1.1

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.13.1.1.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 2) ((2 x^{3} - 5 x^{2}) - 32 x + 80) = 0$

Étape 2.1.13.1.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 2) (x^{2} (2 x - 5) - 16 (2 x - 5)) = 0$

Étape 2.1.13.1.2

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x - 5$ .

$(x + 2) ((2 x - 5) (x^{2} - 16)) = 0$

Étape 2.1.13.1.3

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$(x + 2) ((2 x - 5) (x^{2} - 4^{2})) = 0$

Étape 2.1.13.1.4

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.13.1.4.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 4$ .

$(x + 2) ((2 x - 5) ((x + 4) (x - 4))) = 0$

Étape 2.1.13.1.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) ((2 x - 5) (x + 4) (x - 4)) = 0$

Étape 2.1.13.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 2) (2 x - 5) (x + 4) (x - 4) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$2 x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 2.3

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.4

Définissez $2 x - 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Définissez $2 x - 5$ égal à $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $2 x - 5 = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 5$

Étape 2.4.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 5$ par $2$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 5$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 2.4.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Étape 2.4.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Étape 2.5

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.5.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 2.6

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 2.6.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (2 x - 5) (x + 4) (x - 4) = 0$ vraie.

$x = - 2, \frac{5}{2}, - 4, 4$

Étape 3