Pré-calcul Exemples

$f (x) = 4 x^{3} - 10 x^{2} + 4 x + 5$

Étape 1

Définissez $4 x^{3} - 10 x^{2} + 4 x + 5$ égal à $0$ .

$4 x^{3} - 10 x^{2} + 4 x + 5 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Factorisez $4 x^{3} - 10 x^{2} + 4 x + 5$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 4, \pm 2$

Étape 2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.25, \pm 0.5, \pm 5, \pm 1.25, \pm 2.5$

Étape 2.1.3

Remplacez $- 0.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 0.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.1.3.1

Remplacez $- 0.5$ dans le polynôme.

$4 {(- 0.5)}^{3} - 10 {(- 0.5)}^{2} + 4 \cdot - 0.5 + 5$

Étape 2.1.3.2

Élevez $- 0.5$ à la puissance $3$ .

$4 \cdot - 0.125 - 10 {(- 0.5)}^{2} + 4 \cdot - 0.5 + 5$

Étape 2.1.3.3

Multipliez $4$ par $- 0.125$ .

$- 0.5 - 10 {(- 0.5)}^{2} + 4 \cdot - 0.5 + 5$

Étape 2.1.3.4

Élevez $- 0.5$ à la puissance $2$ .

$- 0.5 - 10 \cdot 0.25 + 4 \cdot - 0.5 + 5$

Étape 2.1.3.5

Multipliez $- 10$ par $0.25$ .

$- 0.5 - 2.5 + 4 \cdot - 0.5 + 5$

Étape 2.1.3.6

Soustrayez $2.5$ de $- 0.5$ .

$- 3 + 4 \cdot - 0.5 + 5$

Étape 2.1.3.7

Multipliez $4$ par $- 0.5$ .

$- 3 - 2 + 5$

Étape 2.1.3.8

Soustrayez $2$ de $- 3$ .

$- 5 + 5$

Étape 2.1.3.9

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$0$

Étape 2.1.4

Comme $- 0.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{4 x^{3} - 10 x^{2} + 4 x + 5}{2 x + 1}$

Étape 2.1.5

Divisez $4 x^{3} - 10 x^{2} + 4 x + 5$ par $2 x + 1$ .

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Étape 2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$1$

$4 x^{3}$

$10 x^{2}$

$4 x$

$5$

Étape 2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $4 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$4 x$	+	$5$

Étape 2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$4 x$	+	$5$
			+	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Étape 2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $4 x^{3} + 2 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$4 x$	+	$5$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Étape 2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$4 x$	+	$5$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Étape 2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$4 x$	+	$5$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$4 x$

Étape 2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 12 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$4 x$	+	$5$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$4 x$

Étape 2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$4 x$	+	$5$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$4 x$
					-	$12 x^{2}$	-	$6 x$

Étape 2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 12 x^{2} - 6 x$

				$2 x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$4 x$	+	$5$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$6 x$

Étape 2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$4 x$	+	$5$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$10 x$

Étape 2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$4 x$	+	$5$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$10 x$	+	$5$

Étape 2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $10 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$2 x^{2}$	-	$6 x$	+	$5$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$4 x$	+	$5$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$10 x$	+	$5$

Étape 2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$6 x$	+	$5$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$4 x$	+	$5$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$10 x$	+	$5$
							+	$10 x$	+	$5$

Étape 2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $10 x + 5$

				$2 x^{2}$	-	$6 x$	+	$5$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$4 x$	+	$5$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$10 x$	+	$5$
							-	$10 x$	-	$5$

Étape 2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$6 x$	+	$5$
$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	-	$10 x^{2}$	+	$4 x$	+	$5$
			-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$4 x$
					+	$12 x^{2}$	+	$6 x$
							+	$10 x$	+	$5$
							-	$10 x$	-	$5$
										$0$

Étape 2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} - 6 x + 5$

Étape 2.1.6

Écrivez $4 x^{3} - 10 x^{2} + 4 x + 5$ comme un ensemble de facteurs.

$(2 x + 1) (2 x^{2} - 6 x + 5) = 0$

Étape 2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

$2 x^{2} - 6 x + 5 = 0$

Étape 2.3

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $2 x + 1$ égal à $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Étape 2.3.2

Résolvez $2 x + 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 1$

Étape 2.3.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 2.3.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.3.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 2.4

Définissez $2 x^{2} - 6 x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $2 x^{2} - 6 x + 5$ égal à $0$ .

$2 x^{2} - 6 x + 5 = 0$

Étape 2.4.2

Résolvez $2 x^{2} - 6 x + 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.4.2.2

Remplacez les valeurs $a = 2$ , $b = - 6$ et $c = 5$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot 5)}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.2.3

Simplifiez

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Étape 2.4.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.2.3.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 2 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 2 \cdot 5$ .

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Étape 2.4.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 8 \cdot 5}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.2.3.1.2.2

Multipliez $- 8$ par $5$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 40}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.2.3.1.3

Soustrayez $40$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.2.3.1.4

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (4)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.2.3.1.7

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.2.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 2 i}{2 \cdot 2}$

Étape 2.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{6 \pm 2 i}{4}$

Étape 2.4.2.3.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 2 i}{4}$ .

$x = \frac{3 \pm i}{2}$

Étape 2.4.2.4

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = \frac{3}{2} + \frac{i}{2}, \frac{3}{2} - \frac{i}{2}$

Étape 2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(2 x + 1) (2 x^{2} - 6 x + 5) = 0$ vraie.

$x = - \frac{1}{2}, \frac{3}{2} + \frac{i}{2}, \frac{3}{2} - \frac{i}{2}$

Étape 3