Pré-calcul Exemples

$f (x) = 4 x^{4} - 17 x^{2} + 4$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = 4 x^{4} - 17 x^{2} + 4$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $4 x^{4} - 17 x^{2} + 4 = 0$ .

$4 x^{4} - 17 x^{2} + 4 = 0$

Étape 1.2.2

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$4 u^{2} - 17 u + 4 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 1.2.3

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.3.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 4 \cdot 4 = 16$ et dont la somme est $b = - 17$ .

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Étape 1.2.3.1.1

Factorisez $- 17$ à partir de $- 17 u$ .

$4 u^{2} - 17 u + 4 = 0$

Étape 1.2.3.1.2

Réécrivez $- 17$ comme $- 1$ plus $- 16$

$4 u^{2} + (- 1 - 16) u + 4 = 0$

Étape 1.2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 u^{2} - 1 u - 16 u + 4 = 0$

Étape 1.2.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.3.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(4 u^{2} - 1 u) - 16 u + 4 = 0$

Étape 1.2.3.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$u (4 u - 1) - 4 (4 u - 1) = 0$

Étape 1.2.3.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 4) = 0$

Étape 1.2.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$u - 4 = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $4 u - 1$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $4 u - 1$ égal à $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $4 u - 1 = 0$ pour $u$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$4 u = 1$

Étape 1.2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $4 u = 1$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 1.2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $4 u = 1$ par $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 1.2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Étape 1.2.5.2.2.2.1.2

Divisez $u$ par $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Étape 1.2.6

Définissez $u - 4$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $u - 4$ égal à $0$ .

$u - 4 = 0$

Étape 1.2.6.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 4$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(4 u - 1) (u - 4) = 0$ vraie.

$u = \frac{1}{4}, 4$

Étape 1.2.8

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = 4$

Étape 1.2.9

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Étape 1.2.10

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Étape 1.2.10.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Étape 1.2.10.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Étape 1.2.10.2.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Étape 1.2.10.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.10.2.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 1.2.10.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Étape 1.2.10.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.10.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.10.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{1}{2}$

Étape 1.2.10.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Étape 1.2.11

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = 4$

Étape 1.2.12

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.12.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = 4$

Étape 1.2.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Étape 1.2.12.3

Simplifiez $\pm \sqrt{4}$ .

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Étape 1.2.12.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Étape 1.2.12.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 2$

Étape 1.2.12.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.12.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 2$

Étape 1.2.12.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 2$

Étape 1.2.12.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 2, - 2$

Étape 1.2.13

La solution à $4 x^{4} - 17 x^{2} + 4 = 0$ est $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2, - 2$ .

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, 2, - 2$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(\frac{1}{2}, 0), (- \frac{1}{2}, 0), (2, 0), (- 2, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = 4 {(0)}^{4} - 17 {(0)}^{2} + 4$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 4 \cdot 0^{4} - 17 {(0)}^{2} + 4$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 4 \cdot 0^{4} - 17 \cdot 0^{2} + 4$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = 4 {(0)}^{4} - 17 {(0)}^{2} + 4$

Étape 2.2.4

Simplifiez $4 {(0)}^{4} - 17 {(0)}^{2} + 4$ .

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Étape 2.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 4 \cdot 0 - 17 {(0)}^{2} + 4$

Étape 2.2.4.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$y = 0 - 17 {(0)}^{2} + 4$

Étape 2.2.4.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 17 \cdot 0 + 4$

Étape 2.2.4.1.4

Multipliez $- 17$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 4$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.2.4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 4$

Étape 2.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$y = 4$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 4)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(\frac{1}{2}, 0), (- \frac{1}{2}, 0), (2, 0), (- 2, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 4)$

Étape 4