Pré-calcul Exemples

$f (x) = 33 x^{4} - x^{2} + 121$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = 33 x^{4} - x^{2} + 121$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $33 x^{4} - x^{2} + 121 = 0$ .

$33 x^{4} - x^{2} + 121 = 0$

Étape 1.2.2

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$33 u^{2} - u + 121 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 1.2.3

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.4

Remplacez les valeurs $a = 33$ , $b = - 1$ et $c = 121$ dans la formule quadratique et résolvez pour $u$ .

$\frac{1 \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 \cdot (33 \cdot 121)}}{2 \cdot 33}$

Étape 1.2.5

Simplifiez

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Étape 1.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 33 \cdot 121}}{2 \cdot 33}$

Étape 1.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 33 \cdot 121$ .

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Étape 1.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $33$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 132 \cdot 121}}{2 \cdot 33}$

Étape 1.2.5.1.2.2

Multipliez $- 132$ par $121$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 15972}}{2 \cdot 33}$

Étape 1.2.5.1.3

Soustrayez $15972$ de $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15971}}{2 \cdot 33}$

Étape 1.2.5.1.4

Réécrivez $- 15971$ comme $- 1 (15971)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15971}}{2 \cdot 33}$

Étape 1.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (15971)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15971}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15971}}{2 \cdot 33}$

Étape 1.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15971}}{2 \cdot 33}$

Étape 1.2.5.2

Multipliez $2$ par $33$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15971}}{66}$

Étape 1.2.6

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 33 \cdot 121}}{2 \cdot 33}$

Étape 1.2.6.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 33 \cdot 121$ .

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Étape 1.2.6.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $33$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 132 \cdot 121}}{2 \cdot 33}$

Étape 1.2.6.1.2.2

Multipliez $- 132$ par $121$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 15972}}{2 \cdot 33}$

Étape 1.2.6.1.3

Soustrayez $15972$ de $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15971}}{2 \cdot 33}$

Étape 1.2.6.1.4

Réécrivez $- 15971$ comme $- 1 (15971)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15971}}{2 \cdot 33}$

Étape 1.2.6.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (15971)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15971}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15971}}{2 \cdot 33}$

Étape 1.2.6.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15971}}{2 \cdot 33}$

Étape 1.2.6.2

Multipliez $2$ par $33$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15971}}{66}$

Étape 1.2.6.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$u = \frac{1 + i \sqrt{15971}}{66}$

Étape 1.2.7

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.7.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 33 \cdot 121}}{2 \cdot 33}$

Étape 1.2.7.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 33 \cdot 121$ .

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Étape 1.2.7.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $33$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 132 \cdot 121}}{2 \cdot 33}$

Étape 1.2.7.1.2.2

Multipliez $- 132$ par $121$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 15972}}{2 \cdot 33}$

Étape 1.2.7.1.3

Soustrayez $15972$ de $1$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 15971}}{2 \cdot 33}$

Étape 1.2.7.1.4

Réécrivez $- 15971$ comme $- 1 (15971)$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 15971}}{2 \cdot 33}$

Étape 1.2.7.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (15971)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15971}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{15971}}{2 \cdot 33}$

Étape 1.2.7.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15971}}{2 \cdot 33}$

Étape 1.2.7.2

Multipliez $2$ par $33$ .

$u = \frac{1 \pm i \sqrt{15971}}{66}$

Étape 1.2.7.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$u = \frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}$

Étape 1.2.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$u = \frac{1 + i \sqrt{15971}}{66}, \frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}$

Étape 1.2.9

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{15971}}{66}$

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}$

Étape 1.2.10

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = \frac{1 + i \sqrt{15971}}{66}$

Étape 1.2.11

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{15971}}{66}}$

Étape 1.2.11.2

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1 + i \sqrt{15971}}{66}}$ .

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Étape 1.2.11.2.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1 + i \sqrt{15971}}{66}}$ comme $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$

Étape 1.2.11.2.2

Multipliez $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$ par $\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{66}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}} \cdot \frac{\sqrt{66}}{\sqrt{66}}$

Étape 1.2.11.2.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.11.2.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$ par $\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{66}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{\sqrt{66} \sqrt{66}}$

Étape 1.2.11.2.3.2

Élevez $\sqrt{66}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{1} \sqrt{66}}$

Étape 1.2.11.2.3.3

Élevez $\sqrt{66}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{1} {\sqrt{66}}^{1}}$

Étape 1.2.11.2.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{1 + 1}}$

Étape 1.2.11.2.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{2}}$

Étape 1.2.11.2.3.6

Réécrivez ${\sqrt{66}}^{2}$ comme $66$ .

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Étape 1.2.11.2.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{66}$ comme $66^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{(66^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.11.2.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.11.2.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.11.2.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.11.2.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.11.2.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{1}}$

Étape 1.2.11.2.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 + i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66}$

Étape 1.2.11.2.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

Étape 1.2.11.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.11.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

Étape 1.2.11.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

Étape 1.2.11.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

Étape 1.2.12

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = \frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}$

Étape 1.2.13

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.13.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = \frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}$

Étape 1.2.13.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}}$

Étape 1.2.13.3

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}}$ .

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Étape 1.2.13.3.1

Réécrivez $\sqrt{\frac{1 - i \sqrt{15971}}{66}}$ comme $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$

Étape 1.2.13.3.2

Multipliez $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$ par $\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{66}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}} \cdot \frac{\sqrt{66}}{\sqrt{66}}$

Étape 1.2.13.3.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.13.3.3.1

Multipliez $\frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}}}{\sqrt{66}}$ par $\frac{\sqrt{66}}{\sqrt{66}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{\sqrt{66} \sqrt{66}}$

Étape 1.2.13.3.3.2

Élevez $\sqrt{66}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{1} \sqrt{66}}$

Étape 1.2.13.3.3.3

Élevez $\sqrt{66}$ à la puissance $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{1} {\sqrt{66}}^{1}}$

Étape 1.2.13.3.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{1 + 1}}$

Étape 1.2.13.3.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{\sqrt{66}}^{2}}$

Étape 1.2.13.3.3.6

Réécrivez ${\sqrt{66}}^{2}$ comme $66$ .

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Étape 1.2.13.3.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{66}$ comme $66^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{{(66^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.13.3.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.13.3.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.13.3.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.13.3.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.13.3.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66^{1}}$

Étape 1.2.13.3.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$x = \pm \frac{\sqrt{1 - i \sqrt{15971}} \sqrt{66}}{66}$

Étape 1.2.13.3.4

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$x = \pm \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

Étape 1.2.13.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.13.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

Étape 1.2.13.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

Étape 1.2.13.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

Étape 1.2.14

La solution à $33 x^{4} - x^{2} + 121 = 0$ est $x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$ .

$x = \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, - \frac{\sqrt{(1 + i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}, - \frac{\sqrt{(1 - i \sqrt{15971}) \cdot 66}}{66}$

Étape 1.3

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

abscisse(s) à l’origine : $Aucune$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = 33 {(0)}^{4} - {(0)}^{2} + 121$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 33 \cdot 0^{4} - {(0)}^{2} + 121$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 33 \cdot 0^{4} - 0^{2} + 121$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = 33 {(0)}^{4} - {(0)}^{2} + 121$

Étape 2.2.4

Simplifiez $33 {(0)}^{4} - {(0)}^{2} + 121$ .

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Étape 2.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 33 \cdot 0 - {(0)}^{2} + 121$

Étape 2.2.4.1.2

Multipliez $33$ par $0$ .

$y = 0 - {(0)}^{2} + 121$

Étape 2.2.4.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 0 + 121$

Étape 2.2.4.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 121$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.2.4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 121$

Étape 2.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $121$ .

$y = 121$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 121)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $Aucune$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 121)$

Étape 4