Pré-calcul Exemples

$f (x) = 2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = 2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180 = 0$ .

$2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.2.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 180, \pm 2, \pm 90, \pm 3, \pm 60, \pm 4, \pm 45, \pm 5, \pm 36, \pm 6, \pm 30, \pm 9, \pm 20, \pm 10, \pm 18, \pm 12, \pm 15$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 1.2.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 180, \pm 90, \pm 2, \pm 45, \pm 3, \pm 1.5, \pm 60, \pm 30, \pm 4, \pm 22.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 36, \pm 18, \pm 6, \pm 15, \pm 9, \pm 4.5, \pm 20, \pm 10, \pm 12, \pm 7.5$

Étape 1.2.2.1.3

Remplacez $- 4$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 4$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.2.2.1.3.1

Remplacez $- 4$ dans le polynôme.

$2 {(- 4)}^{3} - 5 {(- 4)}^{2} - 97 \cdot - 4 - 180$

Étape 1.2.2.1.3.2

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot - 64 - 5 {(- 4)}^{2} - 97 \cdot - 4 - 180$

Étape 1.2.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 64$ .

$- 128 - 5 {(- 4)}^{2} - 97 \cdot - 4 - 180$

Étape 1.2.2.1.3.4

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$- 128 - 5 \cdot 16 - 97 \cdot - 4 - 180$

Étape 1.2.2.1.3.5

Multipliez $- 5$ par $16$ .

$- 128 - 80 - 97 \cdot - 4 - 180$

Étape 1.2.2.1.3.6

Soustrayez $80$ de $- 128$ .

$- 208 - 97 \cdot - 4 - 180$

Étape 1.2.2.1.3.7

Multipliez $- 97$ par $- 4$ .

$- 208 + 388 - 180$

Étape 1.2.2.1.3.8

Additionnez $- 208$ et $388$ .

$180 - 180$

Étape 1.2.2.1.3.9

Soustrayez $180$ de $180$ .

$0$

Étape 1.2.2.1.4

Comme $- 4$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 4$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180}{x + 4}$

Étape 1.2.2.1.5

Divisez $2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180$ par $x + 4$ .

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Étape 1.2.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$4$

$2 x^{3}$

$5 x^{2}$

$97 x$

$180$

Étape 1.2.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$2 x^{2}$
	$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$

Étape 1.2.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			+	$2 x^{3}$	+	$8 x^{2}$

Étape 1.2.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} + 8 x^{2}$

				$2 x^{2}$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$

Étape 1.2.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$

Étape 1.2.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$

Étape 1.2.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 13 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$

Étape 1.2.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					-	$13 x^{2}$	-	$52 x$

Étape 1.2.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 13 x^{2} - 52 x$

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$52 x$

Étape 1.2.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$52 x$
							-	$45 x$

Étape 1.2.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$52 x$
							-	$45 x$	-	$180$

Étape 1.2.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 45 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	-	$45$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$52 x$
							-	$45 x$	-	$180$

Étape 1.2.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	-	$45$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$52 x$
							-	$45 x$	-	$180$
							-	$45 x$	-	$180$

Étape 1.2.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 45 x - 180$

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	-	$45$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$52 x$
							-	$45 x$	-	$180$
							+	$45 x$	+	$180$

Étape 1.2.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$2 x^{2}$	-	$13 x$	-	$45$
$x$	+	$4$		$2 x^{3}$	-	$5 x^{2}$	-	$97 x$	-	$180$
			-	$2 x^{3}$	-	$8 x^{2}$
					-	$13 x^{2}$	-	$97 x$
					+	$13 x^{2}$	+	$52 x$
							-	$45 x$	-	$180$
							+	$45 x$	+	$180$
										$0$

Étape 1.2.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{2} - 13 x - 45$

Étape 1.2.2.1.6

Écrivez $2 x^{3} - 5 x^{2} - 97 x - 180$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 4) (2 x^{2} - 13 x - 45) = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.2.2.1

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.2.2.1.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 2 \cdot - 45 = - 90$ et dont la somme est $b = - 13$ .

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Étape 1.2.2.2.1.1.1

Factorisez $- 13$ à partir de $- 13 x$ .

$(x + 4) (2 x^{2} - 13 x - 45) = 0$

Étape 1.2.2.2.1.1.2

Réécrivez $- 13$ comme $5$ plus $- 18$

$(x + 4) (2 x^{2} + (5 - 18) x - 45) = 0$

Étape 1.2.2.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x + 4) (2 x^{2} + 5 x - 18 x - 45) = 0$

Étape 1.2.2.2.1.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.2.1.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x + 4) ((2 x^{2} + 5 x) - 18 x - 45) = 0$

Étape 1.2.2.2.1.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x + 4) (x (2 x + 5) - 9 (2 x + 5)) = 0$

Étape 1.2.2.2.1.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $2 x + 5$ .

$(x + 4) ((2 x + 5) (x - 9)) = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 4) (2 x + 5) (x - 9) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 4 = 0$

$2 x + 5 = 0$

$x - 9 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 1.2.4.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 1.2.5

Définissez $2 x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $2 x + 5$ égal à $0$ .

$2 x + 5 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $2 x + 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$2 x = - 5$

Étape 1.2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = - 5$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = - 5$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 1.2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Étape 1.2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Étape 1.2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5}{2}$

Étape 1.2.6

Définissez $x - 9$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $x - 9$ égal à $0$ .

$x - 9 = 0$

Étape 1.2.6.2

Ajoutez $9$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 9$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 4) (2 x + 5) (x - 9) = 0$ vraie.

$x = - 4, - \frac{5}{2}, 9$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(- 4, 0), (- \frac{5}{2}, 0), (9, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = 2 {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} - 97 \cdot 0 - 180$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 \cdot 0^{3} - 5 {(0)}^{2} - 97 \cdot 0 - 180$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 \cdot 0^{3} - 5 \cdot 0^{2} - 97 \cdot 0 - 180$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} - 97 \cdot 0 - 180$

Étape 2.2.4

Simplifiez $2 {(0)}^{3} - 5 {(0)}^{2} - 97 \cdot 0 - 180$ .

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Étape 2.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 2 \cdot 0 - 5 {(0)}^{2} - 97 \cdot 0 - 180$

Étape 2.2.4.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$y = 0 - 5 {(0)}^{2} - 97 \cdot 0 - 180$

Étape 2.2.4.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 5 \cdot 0 - 97 \cdot 0 - 180$

Étape 2.2.4.1.4

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$y = 0 + 0 - 97 \cdot 0 - 180$

Étape 2.2.4.1.5

Multipliez $- 97$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 180$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 - 180$

Étape 2.2.4.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 - 180$

Étape 2.2.4.2.3

Soustrayez $180$ de $0$ .

$y = - 180$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 180)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(- 4, 0), (- \frac{5}{2}, 0), (9, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 180)$

Étape 4