Pré-calcul Exemples

$f (x) = 11 x^{4} + 10 x^{3} - 144 x^{2} - 130 x + 13$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = 11 x^{4} + 10 x^{3} - 144 x^{2} - 130 x + 13$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $11 x^{4} + 10 x^{3} - 144 x^{2} - 130 x + 13 = 0$ .

$11 x^{4} + 10 x^{3} - 144 x^{2} - 130 x + 13 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Regroupez les termes.

$10 x^{3} - 130 x + 11 x^{4} - 144 x^{2} + 13 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $10 x$ à partir de $10 x^{3} - 130 x$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Factorisez $10 x$ à partir de $10 x^{3}$ .

$10 x (x^{2}) - 130 x + 11 x^{4} - 144 x^{2} + 13 = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Factorisez $10 x$ à partir de $- 130 x$ .

$10 x (x^{2}) + 10 x (- 13) + 11 x^{4} - 144 x^{2} + 13 = 0$

Étape 1.2.2.2.3

Factorisez $10 x$ à partir de $10 x (x^{2}) + 10 x (- 13)$ .

$10 x (x^{2} - 13) + 11 x^{4} - 144 x^{2} + 13 = 0$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$10 x (x^{2} - 13) + 11 {(x^{2})}^{2} - 144 x^{2} + 13 = 0$

Étape 1.2.2.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$10 x (x^{2} - 13) + 11 u^{2} - 144 u + 13 = 0$

Étape 1.2.2.5

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.2.5.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 11 \cdot 13 = 143$ et dont la somme est $b = - 144$ .

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Étape 1.2.2.5.1.1

Factorisez $- 144$ à partir de $- 144 u$ .

$10 x (x^{2} - 13) + 11 u^{2} - 144 u + 13 = 0$

Étape 1.2.2.5.1.2

Réécrivez $- 144$ comme $- 1$ plus $- 143$

$10 x (x^{2} - 13) + 11 u^{2} + (- 1 - 143) u + 13 = 0$

Étape 1.2.2.5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$10 x (x^{2} - 13) + 11 u^{2} - 1 u - 143 u + 13 = 0$

Étape 1.2.2.5.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.5.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$10 x (x^{2} - 13) + 11 u^{2} - 1 u - 143 u + 13 = 0$

Étape 1.2.2.5.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$10 x (x^{2} - 13) + u (11 u - 1) - 13 (11 u - 1) = 0$

Étape 1.2.2.5.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $11 u - 1$ .

$10 x (x^{2} - 13) + (11 u - 1) (u - 13) = 0$

Étape 1.2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$10 x (x^{2} - 13) + (11 x^{2} - 1) (x^{2} - 13) = 0$

Étape 1.2.2.7

Factorisez $x^{2} - 13$ à partir de $10 x (x^{2} - 13) + (11 x^{2} - 1) (x^{2} - 13)$ .

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Étape 1.2.2.7.1

Factorisez $x^{2} - 13$ à partir de $10 x (x^{2} - 13)$ .

$(x^{2} - 13) (10 x) + (11 x^{2} - 1) (x^{2} - 13) = 0$

Étape 1.2.2.7.2

Factorisez $x^{2} - 13$ à partir de $(11 x^{2} - 1) (x^{2} - 13)$ .

$(x^{2} - 13) (10 x) + (x^{2} - 13) (11 x^{2} - 1) = 0$

Étape 1.2.2.7.3

Factorisez $x^{2} - 13$ à partir de $(x^{2} - 13) (10 x) + (x^{2} - 13) (11 x^{2} - 1)$ .

$(x^{2} - 13) (10 x + 11 x^{2} - 1) = 0$

Étape 1.2.2.8

Laissez $u = x$ . Remplacez toutes les occurrences de $x$ par $u$ .

$(x^{2} - 13) (10 u + 11 u^{2} - 1) = 0$

Étape 1.2.2.9

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.2.9.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$(x^{2} - 13) (11 u^{2} + 10 u - 1) = 0$

Étape 1.2.2.9.2

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 11 \cdot - 1 = - 11$ et dont la somme est $b = 10$ .

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Étape 1.2.2.9.2.1

Factorisez $10$ à partir de $10 u$ .

$(x^{2} - 13) (11 u^{2} + 10 (u) - 1) = 0$

Étape 1.2.2.9.2.2

Réécrivez $10$ comme $- 1$ plus $11$

$(x^{2} - 13) (11 u^{2} + (- 1 + 11) u - 1) = 0$

Étape 1.2.2.9.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} - 13) (11 u^{2} - 1 u + 11 u - 1) = 0$

Étape 1.2.2.9.3

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.9.3.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(x^{2} - 13) ((11 u^{2} - 1 u) + 11 u - 1) = 0$

Étape 1.2.2.9.3.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$(x^{2} - 13) (u (11 u - 1) + 1 (11 u - 1)) = 0$

Étape 1.2.2.9.4

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $11 u - 1$ .

$(x^{2} - 13) ((11 u - 1) (u + 1)) = 0$

Étape 1.2.2.10

Factorisez.

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Étape 1.2.2.10.1

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x$ .

$(x^{2} - 13) ((11 x - 1) (x + 1)) = 0$

Étape 1.2.2.10.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x^{2} - 13) (11 x - 1) (x + 1) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} - 13 = 0$

$11 x - 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x^{2} - 13$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x^{2} - 13$ égal à $0$ .

$x^{2} - 13 = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $x^{2} - 13 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Ajoutez $13$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{2} = 13$

Étape 1.2.4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{13}$

Étape 1.2.4.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.4.2.3.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{13}$

Étape 1.2.4.2.3.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{13}$

Étape 1.2.4.2.3.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{13}, - \sqrt{13}$

Étape 1.2.5

Définissez $11 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $11 x - 1$ égal à $0$ .

$11 x - 1 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $11 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$11 x = 1$

Étape 1.2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $11 x = 1$ par $11$ et simplifiez.

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Étape 1.2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $11 x = 1$ par $11$ .

$\frac{11 x}{11} = \frac{1}{11}$

Étape 1.2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $11$ .

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Étape 1.2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{11 x}{11} = \frac{1}{11}$

Étape 1.2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{11}$

Étape 1.2.6

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} - 13) (11 x - 1) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = \sqrt{13}, - \sqrt{13}, \frac{1}{11}, - 1$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(\sqrt{13}, 0), (- \sqrt{13}, 0), (\frac{1}{11}, 0), (- 1, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = 11 {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 11 \cdot 0^{4} + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 11 \cdot 0^{4} + 10 \cdot 0^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = 11 \cdot 0^{4} + 10 \cdot 0^{3} - 144 \cdot 0^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Étape 2.2.4

Supprimez les parenthèses.

$y = 11 {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Étape 2.2.5

Simplifiez $11 {(0)}^{4} + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$ .

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Étape 2.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.5.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 11 \cdot 0 + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Étape 2.2.5.1.2

Multipliez $11$ par $0$ .

$y = 0 + 10 {(0)}^{3} - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Étape 2.2.5.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 10 \cdot 0 - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Étape 2.2.5.1.4

Multipliez $10$ par $0$ .

$y = 0 + 0 - 144 {(0)}^{2} - 130 \cdot 0 + 13$

Étape 2.2.5.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 0 - 144 \cdot 0 - 130 \cdot 0 + 13$

Étape 2.2.5.1.6

Multipliez $- 144$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 130 \cdot 0 + 13$

Étape 2.2.5.1.7

Multipliez $- 130$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 13$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.2.5.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 13$

Étape 2.2.5.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 + 13$

Étape 2.2.5.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 13$

Étape 2.2.5.2.4

Additionnez $0$ et $13$ .

$y = 13$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 13)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(\sqrt{13}, 0), (- \sqrt{13}, 0), (\frac{1}{11}, 0), (- 1, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 13)$

Étape 4