Pré-calcul Exemples

$f (x) = 2 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2} + 115 x - 52$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = 2 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2} + 115 x - 52$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $2 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2} + 115 x - 52 = 0$ .

$2 x^{4} - 5 x^{3} - 20 x^{2} + 115 x - 52 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Regroupez les termes.

$- 5 x^{3} - 20 x^{2} + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $- 5 x^{2}$ à partir de $- 5 x^{3} - 20 x^{2}$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Factorisez $- 5 x^{2}$ à partir de $- 5 x^{3}$ .

$- 5 x^{2} x - 20 x^{2} + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Factorisez $- 5 x^{2}$ à partir de $- 20 x^{2}$ .

$- 5 x^{2} x - 5 x^{2} \cdot 4 + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

Étape 1.2.2.2.3

Factorisez $- 5 x^{2}$ à partir de $- 5 x^{2} (x) - 5 x^{2} (4)$ .

$- 5 x^{2} (x + 4) + 2 x^{4} + 115 x - 52 = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $2 x^{4} + 115 x - 52$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.2.2.3.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 52, \pm 2, \pm 26, \pm 4, \pm 13$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 1.2.2.3.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 52, \pm 26, \pm 2, \pm 13, \pm 4, \pm 6.5$

Étape 1.2.2.3.3

Remplacez $- 4$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 4$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.2.2.3.3.1

Remplacez $- 4$ dans le polynôme.

$2 {(- 4)}^{4} + 115 \cdot - 4 - 52$

Étape 1.2.2.3.3.2

Élevez $- 4$ à la puissance $4$ .

$2 \cdot 256 + 115 \cdot - 4 - 52$

Étape 1.2.2.3.3.3

Multipliez $2$ par $256$ .

$512 + 115 \cdot - 4 - 52$

Étape 1.2.2.3.3.4

Multipliez $115$ par $- 4$ .

$512 - 460 - 52$

Étape 1.2.2.3.3.5

Soustrayez $460$ de $512$ .

$52 - 52$

Étape 1.2.2.3.3.6

Soustrayez $52$ de $52$ .

$0$

Étape 1.2.2.3.4

Comme $- 4$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 4$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{4} + 115 x - 52}{x + 4}$

Étape 1.2.2.3.5

Divisez $2 x^{4} + 115 x - 52$ par $x + 4$ .

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Étape 1.2.2.3.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

Étape 1.2.2.3.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{4}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

Étape 1.2.2.3.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

Étape 1.2.2.3.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{4} + 8 x^{3}$

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

Étape 1.2.2.3.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

Étape 1.2.2.3.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$2 x^{3}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 1.2.2.3.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 8 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

Étape 1.2.2.3.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

Étape 1.2.2.3.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 8 x^{3} - 32 x^{2}$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

Étape 1.2.2.3.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

Étape 1.2.2.3.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

Étape 1.2.2.3.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $32 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

Étape 1.2.2.3.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

Étape 1.2.2.3.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $32 x^{2} + 128 x$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

Étape 1.2.2.3.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

Étape 1.2.2.3.5.16

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

Étape 1.2.2.3.5.17

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 13 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

Étape 1.2.2.3.5.18

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

Étape 1.2.2.3.5.19

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 13 x - 52$

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

Étape 1.2.2.3.5.20

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

$2 x^{3}$

$8 x^{2}$

$32 x$

$13$

$x$

$4$

$2 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$115 x$

$52$

$2 x^{4}$

$8 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x^{3}$

$32 x^{2}$

$115 x$

$32 x^{2}$

$128 x$

$13 x$

$52$

$13 x$

$52$

$0$

Étape 1.2.2.3.5.21

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13$

Étape 1.2.2.3.6

Écrivez $2 x^{4} + 115 x - 52$ comme un ensemble de facteurs.

$- 5 x^{2} (x + 4) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

Étape 1.2.2.4

Factorisez $x + 4$ à partir de $- 5 x^{2} (x + 4) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$ .

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Étape 1.2.2.4.1

Factorisez $x + 4$ à partir de $- 5 x^{2} (x + 4)$ .

$(x + 4) (- 5 x^{2}) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

Étape 1.2.2.4.2

Factorisez $x + 4$ à partir de $(x + 4) (- 5 x^{2}) + (x + 4) (2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13)$ .

$(x + 4) (- 5 x^{2} + 2 x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

Étape 1.2.2.5

Soustrayez $8 x^{2}$ de $- 5 x^{2}$ .

$(x + 4) (2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13) = 0$

Étape 1.2.2.6

Factorisez.

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Étape 1.2.2.6.1

Factorisez $2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 1.2.2.6.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 13$

$q = \pm 1, \pm 2$

Étape 1.2.2.6.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 13, \pm 6.5$

Étape 1.2.2.6.1.3

Remplacez $0.5$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $0.5$ est une racine du polynôme.

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Étape 1.2.2.6.1.3.1

Remplacez $0.5$ dans le polynôme.

$2 \cdot {0.5}^{3} - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

Étape 1.2.2.6.1.3.2

Élevez $0.5$ à la puissance $3$ .

$2 \cdot 0.125 - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

Étape 1.2.2.6.1.3.3

Multipliez $2$ par $0.125$ .

$0.25 - 13 \cdot {0.5}^{2} + 32 \cdot 0.5 - 13$

Étape 1.2.2.6.1.3.4

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$0.25 - 13 \cdot 0.25 + 32 \cdot 0.5 - 13$

Étape 1.2.2.6.1.3.5

Multipliez $- 13$ par $0.25$ .

$0.25 - 3.25 + 32 \cdot 0.5 - 13$

Étape 1.2.2.6.1.3.6

Soustrayez $3.25$ de $0.25$ .

$- 3 + 32 \cdot 0.5 - 13$

Étape 1.2.2.6.1.3.7

Multipliez $32$ par $0.5$ .

$- 3 + 16 - 13$

Étape 1.2.2.6.1.3.8

Additionnez $- 3$ et $16$ .

$13 - 13$

Étape 1.2.2.6.1.3.9

Soustrayez $13$ de $13$ .

$0$

Étape 1.2.2.6.1.4

Comme $0.5$ est une racine connue, divisez le polynôme par $2 x - 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13}{2 x - 1}$

Étape 1.2.2.6.1.5

Divisez $2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ par $2 x - 1$ .

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Étape 1.2.2.6.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{3}$

$13 x^{2}$

$32 x$

$13$

Étape 1.2.2.6.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $2 x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

					$x^{2}$
	$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$

Étape 1.2.2.6.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			+	$2 x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 1.2.2.6.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $2 x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 1.2.2.6.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$

Étape 1.2.2.6.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$

Étape 1.2.2.6.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $- 12 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$

Étape 1.2.2.6.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					-	$12 x^{2}$	+	$6 x$

Étape 1.2.2.6.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $- 12 x^{2} + 6 x$

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$

Étape 1.2.2.6.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$

Étape 1.2.2.6.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	-	$6 x$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$

Étape 1.2.2.6.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $26 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $2 x$ .

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$

Étape 1.2.2.6.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							+	$26 x$	-	$13$

Étape 1.2.2.6.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $26 x - 13$

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							-	$26 x$	+	$13$

Étape 1.2.2.6.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	-	$6 x$	+	$13$
$2 x$	-	$1$		$2 x^{3}$	-	$13 x^{2}$	+	$32 x$	-	$13$
			-	$2 x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$12 x^{2}$	+	$32 x$
					+	$12 x^{2}$	-	$6 x$
							+	$26 x$	-	$13$
							-	$26 x$	+	$13$
										$0$

Étape 1.2.2.6.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} - 6 x + 13$

Étape 1.2.2.6.1.6

Écrivez $2 x^{3} - 13 x^{2} + 32 x - 13$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 4) ((2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 13)) = 0$

Étape 1.2.2.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 4) (2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 13) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 4 = 0$

$2 x - 1 = 0$

$x^{2} - 6 x + 13 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 1.2.4.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 1.2.5

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $2 x - 1$ égal à $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $2 x - 1 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 1$

Étape 1.2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 1$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Étape 1.2.6

Définissez $x^{2} - 6 x + 13$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $x^{2} - 6 x + 13$ égal à $0$ .

$x^{2} - 6 x + 13 = 0$

Étape 1.2.6.2

Résolvez $x^{2} - 6 x + 13 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 1.2.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 6$ et $c = 13$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 13)}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.3

Simplifiez

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Étape 1.2.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.2.3.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

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Étape 1.2.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.3.1.3

Soustrayez $52$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.3.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.3.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Étape 1.2.6.2.3.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Étape 1.2.6.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.6.2.4.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.4.1.3

Soustrayez $52$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.4.1.4

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.4.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.4.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Étape 1.2.6.2.4.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Étape 1.2.6.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 3 + 2 i$

Étape 1.2.6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 1.2.6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.2.5.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 13$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 13}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $13$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 52}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.5.1.3

Soustrayez $52$ de $36$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.5.1.4

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \frac{6 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{16}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.5.1.7

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \frac{6 \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \frac{6 \pm i \cdot 4}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.5.1.9

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2 \cdot 1}$

Étape 1.2.6.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{6 \pm 4 i}{2}$

Étape 1.2.6.2.5.3

Simplifiez $\frac{6 \pm 4 i}{2}$ .

$x = 3 \pm 2 i$

Étape 1.2.6.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 3 - 2 i$

Étape 1.2.6.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 3 + 2 i, 3 - 2 i$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 4) (2 x - 1) (x^{2} - 6 x + 13) = 0$ vraie.

$x = - 4, \frac{1}{2}, 3 + 2 i, 3 - 2 i$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(- 4, 0), (\frac{1}{2}, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = 2 {(0)}^{4} - 5 {(0)}^{3} - 20 {(0)}^{2} + 115 (0) - 52$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 \cdot 0^{4} - 5 {(0)}^{3} - 20 {(0)}^{2} + 115 (0) - 52$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 \cdot 0^{4} - 5 \cdot 0^{3} - 20 {(0)}^{2} + 115 (0) - 52$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 \cdot 0^{4} - 5 \cdot 0^{3} - 20 \cdot 0^{2} + 115 (0) - 52$

Étape 2.2.4

Supprimez les parenthèses.

$y = 2 {(0)}^{4} - 5 {(0)}^{3} - 20 {(0)}^{2} + 115 (0) - 52$

Étape 2.2.5

Simplifiez $2 {(0)}^{4} - 5 {(0)}^{3} - 20 {(0)}^{2} + 115 (0) - 52$ .

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Étape 2.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.5.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 2 \cdot 0 - 5 {(0)}^{3} - 20 {(0)}^{2} + 115 (0) - 52$

Étape 2.2.5.1.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$y = 0 - 5 {(0)}^{3} - 20 {(0)}^{2} + 115 (0) - 52$

Étape 2.2.5.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 - 5 \cdot 0 - 20 {(0)}^{2} + 115 (0) - 52$

Étape 2.2.5.1.4

Multipliez $- 5$ par $0$ .

$y = 0 + 0 - 20 {(0)}^{2} + 115 (0) - 52$

Étape 2.2.5.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 0 - 20 \cdot 0 + 115 (0) - 52$

Étape 2.2.5.1.6

Multipliez $- 20$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 115 (0) - 52$

Étape 2.2.5.1.7

Multipliez $115$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 - 52$

Étape 2.2.5.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.5.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 - 52$

Étape 2.2.5.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 - 52$

Étape 2.2.5.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 - 52$

Étape 2.2.5.2.4

Soustrayez $52$ de $0$ .

$y = - 52$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 52)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(- 4, 0), (\frac{1}{2}, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 52)$

Étape 4