Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7 = 0$ .

$x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Regroupez les termes.

$x^{5} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{5} + 2 x^{3} + x$ .

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Étape 1.2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Étape 1.2.2.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Étape 1.2.2.2.4

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Étape 1.2.2.2.5

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x^{4} + x (2 x^{2})$ .

$x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Étape 1.2.2.2.6

Factorisez $x$ à partir de $x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1$ .

$x (x^{4} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Étape 1.2.2.3

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Étape 1.2.2.4

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x (u^{2} + 2 u + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Étape 1.2.2.5

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.2.2.5.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x (u^{2} + 2 u + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Étape 1.2.2.5.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 1.2.2.5.3

Réécrivez le polynôme.

$x (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Étape 1.2.2.5.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

$x {(u + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Étape 1.2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

Étape 1.2.2.7

Factorisez $7$ à partir de $7 x^{4} + 14 x^{2} + 7$ .

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Étape 1.2.2.7.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x^{4}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 14 x^{2} + 7 = 0$

Étape 1.2.2.7.2

Factorisez $7$ à partir de $14 x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 = 0$

Étape 1.2.2.7.3

Factorisez $7$ à partir de $7$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

Étape 1.2.2.7.4

Factorisez $7$ à partir de $7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2})$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

Étape 1.2.2.7.5

Factorisez $7$ à partir de $7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1)$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Étape 1.2.2.8

Réécrivez $x^{4}$ comme ${(x^{2})}^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) = 0$

Étape 1.2.2.9

Laissez $u = x^{2}$ . Remplacez toutes les occurrences de $x^{2}$ par $u$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

Étape 1.2.2.10

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 1.2.2.10.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.10.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 1.2.2.10.3

Réécrivez le polynôme.

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.10.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(u + 1)}^{2} = 0$

Étape 1.2.2.11

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Étape 1.2.2.12

Factorisez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ à partir de $x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

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Étape 1.2.2.12.1

Factorisez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ à partir de $x {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} x + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Étape 1.2.2.12.2

Factorisez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ à partir de $7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7 = 0$

Étape 1.2.2.12.3

Factorisez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ à partir de ${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

$x + 7 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez ${(x^{2} + 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez ${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Définissez le $x^{2} + 1$ égal à $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Étape 1.2.4.2.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.2.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x^{2} = - 1$

Étape 1.2.4.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Étape 1.2.4.2.2.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i$

Étape 1.2.4.2.2.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.4.2.2.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = i$

Étape 1.2.4.2.2.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - i$

Étape 1.2.4.2.2.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = i, - i$

Étape 1.2.5

Définissez $x + 7$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x + 7$ égal à $0$ .

$x + 7 = 0$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 7$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$ vraie.

$x = i, - i, - 7$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(- 7, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = {(0)}^{5} + 7 {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} + 14 {(0)}^{2} + 0 + 7$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = {(0)}^{5} + 7 {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} + 14 {(0)}^{2} + 0 + 7$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{5} + 7 {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} + 14 {(0)}^{2} + 0 + 7$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{5} + 7 \cdot 0^{4} + 2 {(0)}^{3} + 14 {(0)}^{2} + 0 + 7$

Étape 2.2.4

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{5} + 7 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{3} + 14 {(0)}^{2} + 0 + 7$

Étape 2.2.5

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{5} + 7 \cdot 0^{4} + 2 \cdot 0^{3} + 14 \cdot 0^{2} + 0 + 7$

Étape 2.2.6

Supprimez les parenthèses.

$y = {(0)}^{5} + 7 {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} + 14 {(0)}^{2} + 0 + 7$

Étape 2.2.7

Simplifiez ${(0)}^{5} + 7 {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} + 14 {(0)}^{2} + 0 + 7$ .

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Étape 2.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.7.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 7 {(0)}^{4} + 2 {(0)}^{3} + 14 {(0)}^{2} + 0 + 7$

Étape 2.2.7.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 7 \cdot 0 + 2 {(0)}^{3} + 14 {(0)}^{2} + 0 + 7$

Étape 2.2.7.1.3

Multipliez $7$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 2 {(0)}^{3} + 14 {(0)}^{2} + 0 + 7$

Étape 2.2.7.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 0 + 2 \cdot 0 + 14 {(0)}^{2} + 0 + 7$

Étape 2.2.7.1.5

Multipliez $2$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 14 {(0)}^{2} + 0 + 7$

Étape 2.2.7.1.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 14 \cdot 0 + 0 + 7$

Étape 2.2.7.1.7

Multipliez $14$ par $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 7$

Étape 2.2.7.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 2.2.7.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 0 + 7$

Étape 2.2.7.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 7$

Étape 2.2.7.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 0 + 7$

Étape 2.2.7.2.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 + 7$

Étape 2.2.7.2.5

Additionnez $0$ et $7$ .

$y = 7$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 7)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(- 7, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, 7)$

Étape 4