Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{4} + 13 x^{2} - 48$

Étape 1

Déterminez les abscisses à l’origine.

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Étape 1.1

Pour déterminer la ou les abscisses à l’origine, remplacez $y$ par $0$ et résolvez $x$ .

$0 = x^{4} + 13 x^{2} - 48$

Étape 1.2

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.1

Réécrivez l’équation comme $x^{4} + 13 x^{2} - 48 = 0$ .

$x^{4} + 13 x^{2} - 48 = 0$

Étape 1.2.2

Remplacez $u = x^{2}$ dans l’équation. Cela facilitera l’utilisation de la formule quadratique.

$u^{2} + 13 u - 48 = 0$

$u = x^{2}$

Étape 1.2.3

Factorisez $u^{2} + 13 u - 48$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.3.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 48$ et dont la somme est $13$ .

$- 3, 16$

Étape 1.2.3.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(u - 3) (u + 16) = 0$

Étape 1.2.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 16 = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $u - 3$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $u - 3$ égal à $0$ .

$u - 3 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$u = 3$

Étape 1.2.6

Définissez $u + 16$ égal à $0$ et résolvez $u$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $u + 16$ égal à $0$ .

$u + 16 = 0$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $16$ des deux côtés de l’équation.

$u = - 16$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(u - 3) (u + 16) = 0$ vraie.

$u = 3, - 16$

Étape 1.2.8

Remplacez à nouveau la valeur réelle de $u = x^{2}$ dans l’équation résolue.

$x^{2} = 3$

${(x^{2})}^{1} = - 16$

Étape 1.2.9

Résolvez la première équation pour $x$ .

$x^{2} = 3$

Étape 1.2.10

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.10.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{3}$

Étape 1.2.10.2

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.10.2.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = \sqrt{3}$

Étape 1.2.10.2.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - \sqrt{3}$

Étape 1.2.10.2.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Étape 1.2.11

Résolvez la deuxième équation pour $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 16$

Étape 1.2.12

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.12.1

Supprimez les parenthèses.

$x^{2} = - 16$

Étape 1.2.12.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 16}$

Étape 1.2.12.3

Simplifiez $\pm \sqrt{- 16}$ .

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Étape 1.2.12.3.1

Réécrivez $- 16$ comme $- 1 (16)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (16)}$

Étape 1.2.12.3.2

Réécrivez $\sqrt{- 1 (16)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{16}$

Étape 1.2.12.3.3

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{16}$

Étape 1.2.12.3.4

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{4^{2}}$

Étape 1.2.12.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm i \cdot 4$

Étape 1.2.12.3.6

Déplacez $4$ à gauche de $i$ .

$x = \pm 4 i$

Étape 1.2.12.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.12.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 4 i$

Étape 1.2.12.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 4 i$

Étape 1.2.12.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 4 i, - 4 i$

Étape 1.2.13

La solution à $x^{4} + 13 x^{2} - 48 = 0$ est $x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 4 i, - 4 i$ .

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, 4 i, - 4 i$

Étape 1.3

abscisse(s) à l’origine en forme de point.

abscisse(s) à l’origine : $(\sqrt{3}, 0), (- \sqrt{3}, 0)$

Étape 2

Déterminez les ordonnées à l’origine.

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Étape 2.1

Pour trouver la ou les ordonnées à l’origine, remplacez $x$ par $0$ et résolvez $y$ .

$y = {(0)}^{4} + 13 {(0)}^{2} - 48$

Étape 2.2

Résolvez l’équation.

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Étape 2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{4} + 13 {(0)}^{2} - 48$

Étape 2.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = 0^{4} + 13 \cdot 0^{2} - 48$

Étape 2.2.3

Supprimez les parenthèses.

$y = {(0)}^{4} + 13 {(0)}^{2} - 48$

Étape 2.2.4

Simplifiez ${(0)}^{4} + 13 {(0)}^{2} - 48$ .

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Étape 2.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 13 {(0)}^{2} - 48$

Étape 2.2.4.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$y = 0 + 13 \cdot 0 - 48$

Étape 2.2.4.1.3

Multipliez $13$ par $0$ .

$y = 0 + 0 - 48$

Étape 2.2.4.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.2.4.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$y = 0 - 48$

Étape 2.2.4.2.2

Soustrayez $48$ de $0$ .

$y = - 48$

Étape 2.3

ordonnée(s) à l’origine en forme de point.

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 48)$

Étape 3

Indiquez les intersections.

abscisse(s) à l’origine : $(\sqrt{3}, 0), (- \sqrt{3}, 0)$

ordonnée(s) à l’origine : $(0, - 48)$

Étape 4