Pré-calcul Exemples

$f (x) = \sqrt{x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12}$

Étape 1

Définissez le radicande dans $\sqrt{x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12 \geq 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Convertissez l’inégalité en une équation.

$x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12 = 0$

Étape 2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.2.1

Factorisez $x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12$ en utilisant le test des racines rationnelles.

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Étape 2.2.1.1

Si une fonction polynomiale a des coefficients entiers, chaque zéro rationnel aura la forme $\frac{p}{q}$ où $p$ est un facteur de la constante et $q$ est un facteur du coefficient directeur.

$p = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

$q = \pm 1$

Étape 2.2.1.2

Déterminez chaque combinaison de $\pm \frac{p}{q}$ . Il s’agit des racines possibles de la fonction polynomiale.

$\pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Étape 2.2.1.3

Remplacez $- 1$ et simplifiez l’expression. Dans ce cas, l’expression est égale à $0$ donc $- 1$ est une racine du polynôme.

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Étape 2.2.1.3.1

Remplacez $- 1$ dans le polynôme.

${(- 1)}^{3} + 8 {(- 1)}^{2} + 19 \cdot - 1 + 12$

Étape 2.2.1.3.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 + 8 {(- 1)}^{2} + 19 \cdot - 1 + 12$

Étape 2.2.1.3.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- 1 + 8 \cdot 1 + 19 \cdot - 1 + 12$

Étape 2.2.1.3.4

Multipliez $8$ par $1$ .

$- 1 + 8 + 19 \cdot - 1 + 12$

Étape 2.2.1.3.5

Additionnez $- 1$ et $8$ .

$7 + 19 \cdot - 1 + 12$

Étape 2.2.1.3.6

Multipliez $19$ par $- 1$ .

$7 - 19 + 12$

Étape 2.2.1.3.7

Soustrayez $19$ de $7$ .

$- 12 + 12$

Étape 2.2.1.3.8

Additionnez $- 12$ et $12$ .

$0$

Étape 2.2.1.4

Comme $- 1$ est une racine connue, divisez le polynôme par $x + 1$ pour déterminer le polynôme quotient. Ce polynôme peut alors être utilisé pour déterminer les racines restantes.

$\frac{x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12}{x + 1}$

Étape 2.2.1.5

Divisez $x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12$ par $x + 1$ .

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Étape 2.2.1.5.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$8 x^{2}$

$19 x$

$12$

Étape 2.2.1.5.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x^{3}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$

Étape 2.2.1.5.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			+	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Étape 2.2.1.5.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x^{3} + x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Étape 2.2.1.5.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$

Étape 2.2.1.5.6

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$

Étape 2.2.1.5.7

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $7 x^{2}$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$

Étape 2.2.1.5.8

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					+	$7 x^{2}$	+	$7 x$

Étape 2.2.1.5.9

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $7 x^{2} + 7 x$

				$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$

Étape 2.2.1.5.10

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$12 x$

Étape 2.2.1.5.11

Extrayez les termes suivants du dividende d’origine dans le dividende actuel.

				$x^{2}$	+	$7 x$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$12 x$	+	$12$

Étape 2.2.1.5.12

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $12 x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$12$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$12 x$	+	$12$

Étape 2.2.1.5.13

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$12$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$12 x$	+	$12$
							+	$12 x$	+	$12$

Étape 2.2.1.5.14

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $12 x + 12$

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$12$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$12 x$	+	$12$
							-	$12 x$	-	$12$

Étape 2.2.1.5.15

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$x^{2}$	+	$7 x$	+	$12$
$x$	+	$1$		$x^{3}$	+	$8 x^{2}$	+	$19 x$	+	$12$
			-	$x^{3}$	-	$x^{2}$
					+	$7 x^{2}$	+	$19 x$
					-	$7 x^{2}$	-	$7 x$
							+	$12 x$	+	$12$
							-	$12 x$	-	$12$
										$0$

Étape 2.2.1.5.16

Comme le reste est $0$ , la réponse finale est le quotient.

$x^{2} + 7 x + 12$

Étape 2.2.1.6

Écrivez $x^{3} + 8 x^{2} + 19 x + 12$ comme un ensemble de facteurs.

$(x + 1) (x^{2} + 7 x + 12) = 0$

Étape 2.2.2

Factorisez $x^{2} + 7 x + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2} + 7 x + 12$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $12$ et dont la somme est $7$ .

$3, 4$

Étape 2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x + 1) ((x + 3) (x + 4)) = 0$

Étape 2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$(x + 1) (x + 3) (x + 4) = 0$

Étape 2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Étape 2.4

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.4.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 2.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 2.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.6

Définissez $x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.6.1

Définissez $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 2.6.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 1) (x + 3) (x + 4) = 0$ vraie.

$x = - 1, - 3, - 4$

Étape 2.8

Utilisez chaque racine pour créer des intervalles de test.

$x < - 4$

$- 4 < x < - 3$

$- 3 < x < - 1$

$x > - 1$

Étape 2.9

Choisissez une valeur de test depuis chaque intervalle et placez cette valeur dans l’inégalité d’origine afin de déterminer quels intervalles satisfont à l’inégalité.

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Étape 2.9.1

Testez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.9.1.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x < - 4$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 6$

Étape 2.9.1.2

Remplacez $x$ par $- 6$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 6)}^{3} + 8 {(- 6)}^{2} + 19 (- 6) + 12 \geq 0$

Étape 2.9.1.3

Le côté gauche $- 30$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.9.2

Testez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < - 3$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.9.2.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 4 < x < - 3$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 3.5$

Étape 2.9.2.2

Remplacez $x$ par $- 3.5$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 3.5)}^{3} + 8 {(- 3.5)}^{2} + 19 (- 3.5) + 12 \geq 0$

Étape 2.9.2.3

Le côté gauche $0.625$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.9.3

Testez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.9.3.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $- 3 < x < - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = - 2$

Étape 2.9.3.2

Remplacez $x$ par $- 2$ dans l’inégalité d’origine.

${(- 2)}^{3} + 8 {(- 2)}^{2} + 19 (- 2) + 12 \geq 0$

Étape 2.9.3.3

Le côté gauche $- 2$ est inférieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est faux.

False

Étape 2.9.4

Testez une valeur sur l’intervalle $x > - 1$ pour voir si elle rend vraie l’inégalité.

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Étape 2.9.4.1

Choisissez une valeur sur l’intervalle $x > - 1$ et constatez si cette valeur rend vraie l’inégalité d’origine.

$x = 0$

Étape 2.9.4.2

Remplacez $x$ par $0$ dans l’inégalité d’origine.

${(0)}^{3} + 8 {(0)}^{2} + 19 (0) + 12 \geq 0$

Étape 2.9.4.3

Le côté gauche $12$ est supérieur au côté droit $0$ , ce qui signifie que l’énoncé donné est toujours vrai.

True

Étape 2.9.5

Comparez les intervalles afin de déterminer lesquels satisfont à l’inégalité d’origine.

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < - 1$ Faux

$x > - 1$ Vrai

$x < - 4$ Faux

$- 4 < x < - 3$ Vrai

$- 3 < x < - 1$ Faux

$x > - 1$ Vrai

Étape 2.10

La solution se compose de tous les intervalles vrais.

$- 4 \leq x \leq - 3$ ou $x \geq - 1$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$[- 4, - 3] \cup [- 1, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | - 4 \leq x \leq - 3, x \geq - 1}$

Étape 4