Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{(2 x^{2} - 2) (x + 3)}{(x^{2} - 6 x + 8) (x + 3)}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(2 x^{2} - 2) (x + 3)}{(x^{2} - 6 x + 8) (x + 3)}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$(x^{2} - 6 x + 8) (x + 3) = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 2.2

Définissez $x^{2} - 6 x + 8$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.1

Définissez $x^{2} - 6 x + 8$ égal à $0$ .

$x^{2} - 6 x + 8 = 0$

Étape 2.2.2

Résolvez $x^{2} - 6 x + 8 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - 6 x + 8$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $8$ et dont la somme est $- 6$ .

$- 4, - 2$

Étape 2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$(x - 4) (x - 2) = 0$

Étape 2.2.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 2.2.2.3

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.2.3.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 2.2.2.3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 2.2.2.4

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.2.2.4.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 2.2.2.4.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 2.2.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 4) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 4, 2$

Étape 2.3

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 2.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x^{2} - 6 x + 8) (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 4, 2, - 3$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq 2, - 3, 4}$

Étape 4

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 7 - 3 \sqrt{5}] \cup [- 7 + 3 \sqrt{5}, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \leq - 7 - 3 \sqrt{5}, y \geq - 7 + 3 \sqrt{5}}$

Étape 5

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $(- \infty, - 3) \cup (- 3, 2) \cup (2, 4) \cup (4, \infty), {x | x \neq 2, - 3, 4}$

Plage : $(- \infty, - 7 - 3 \sqrt{5}] \cup [- 7 + 3 \sqrt{5}, \infty), {y | y \leq - 7 - 3 \sqrt{5}, y \geq - 7 + 3 \sqrt{5}}$

Étape 6