Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{5 x}{\sqrt[3]{x^{3} + 8}}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{5 x}{\sqrt[3]{x^{3} + 8}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$\sqrt[3]{x^{3} + 8} = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{x^{3} + 8}}^{3} = 0^{3}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{3} + 8}$ comme ${(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez ${({(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 2.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(x^{3} + 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(x^{3} + 8)}^{1} = 0^{3}$

Étape 2.2.2.1.2

Simplifiez

$x^{3} + 8 = 0^{3}$

Étape 2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 2.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$x^{3} + 8 = 0$

Étape 2.3

Résolvez $x$ .

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Étape 2.3.1

Soustrayez $8$ des deux côtés de l’équation.

$x^{3} = - 8$

Étape 2.3.2

Ajoutez $8$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{3} + 8 = 0$

Étape 2.3.3

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$x^{3} + 2^{3} = 0$

Étape 2.3.3.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Étape 2.3.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.3.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2}) = 0$

Étape 2.3.3.3.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$

Étape 2.3.4

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Étape 2.3.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 2.3.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 2.3.6

Définissez $x^{2} - 2 x + 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 2.3.6.1

Définissez $x^{2} - 2 x + 4$ égal à $0$ .

$x^{2} - 2 x + 4 = 0$

Étape 2.3.6.2

Résolvez $x^{2} - 2 x + 4 = 0$ pour $x$ .

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Étape 2.3.6.2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.3.6.2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 2$ et $c = 4$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 4)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.6.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.6.2.3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 2.3.6.2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.3.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.3.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.3.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.3.6.2.3.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.3.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.3.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.3.6.2.3.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 2.3.6.2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.3.6.2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.6.2.4.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 2.3.6.2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.4.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.4.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.4.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.3.6.2.4.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.4.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.4.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.3.6.2.4.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 2.3.6.2.4.4

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = 1 + i \sqrt{3}$

Étape 2.3.6.2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.3.6.2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.6.2.5.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 4$ .

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Étape 2.3.6.2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.5.1.3

Soustrayez $16$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.5.1.4

Réécrivez $- 12$ comme $- 1 (12)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (12)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.5.1.7

Réécrivez $12$ comme $2^{2} \cdot 3$ .

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Étape 2.3.6.2.5.1.7.1

Factorisez $4$ à partir de $12$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.5.1.7.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{2 \pm i \cdot (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.5.1.9

Déplacez $2$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.6.2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$

Étape 2.3.6.2.5.3

Simplifiez $\frac{2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2}$ .

$x = 1 \pm i \sqrt{3}$

Étape 2.3.6.2.5.4

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = 1 - i \sqrt{3}$

Étape 2.3.6.2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Étape 2.3.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4) = 0$ vraie.

$x = - 2, 1 + i \sqrt{3}, 1 - i \sqrt{3}$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \neq - 2}$

Étape 4

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 5) \cup (5, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | y \neq 5}$

Étape 5

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $(- \infty, - 2) \cup (- 2, \infty), {x | x \neq - 2}$

Plage : $(- \infty, 5) \cup (5, \infty), {y | y \neq 5}$

Étape 6