Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{4 x^{2} + 1}{x^{2} + x + 16}$

Étape 1

Définissez le dénominateur dans $\frac{4 x^{2} + 1}{x^{2} + x + 16}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} + x + 16 = 0$

Étape 2

Résolvez $x$ .

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Étape 2.1

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 2.2

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = 1$ et $c = 16$ dans la formule quadratique et résolvez pour $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 16)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.3

Soustrayez $64$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.4

Réécrivez $- 63$ comme $- 1 (63)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (63)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.7

Réécrivez $63$ comme $3^{2} \cdot 7$ .

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Étape 2.3.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $63$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.3.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2}$

Étape 2.4

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $+$ du $\pm$ .

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Étape 2.4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.4.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Étape 2.4.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.3

Soustrayez $64$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.4

Réécrivez $- 63$ comme $- 1 (63)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (63)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.7

Réécrivez $63$ comme $3^{2} \cdot 7$ .

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Étape 2.4.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $63$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2}$

Étape 2.4.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ .

$x = \frac{- 1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

Étape 2.4.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

Étape 2.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $3 i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- 3 i \sqrt{7})}{2}$

Étape 2.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (- 3 i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - 3 i \sqrt{7})}{2}$

Étape 2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{2}$

Étape 2.5

Simplifiez l’expression pour résoudre la partie $-$ du $\pm$ .

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Étape 2.5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.5.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.2

Multipliez $- 4 \cdot 1 \cdot 16$ .

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Étape 2.5.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 16}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.2.2

Multipliez $- 4$ par $16$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 64}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.3

Soustrayez $64$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 63}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.4

Réécrivez $- 63$ comme $- 1 (63)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 63}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.5

Réécrivez $\sqrt{- 1 (63)}$ comme $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.6

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{63}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.7

Réécrivez $63$ comme $3^{2} \cdot 7$ .

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Étape 2.5.1.7.1

Factorisez $9$ à partir de $63$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{9 (7)}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.7.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.8

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = \frac{- 1 \pm i \cdot (3 \sqrt{7})}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.1.9

Déplacez $3$ à gauche de $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2 \cdot 1}$

Étape 2.5.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm 3 i \sqrt{7}}{2}$

Étape 2.5.3

Remplacez le $\pm$ par $-$ .

$x = \frac{- 1 - 3 i \sqrt{7}}{2}$

Étape 2.5.4

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - 3 i \sqrt{7}}{2}$

Étape 2.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 i \sqrt{7}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (3 i \sqrt{7})}{2}$

Étape 2.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (3 i \sqrt{7})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + 3 i \sqrt{7})}{2}$

Étape 2.5.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

Étape 2.6

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$x = - \frac{1 - 3 i \sqrt{7}}{2}, - \frac{1 + 3 i \sqrt{7}}{2}$

Étape 3

Le domaine est l’ensemble des nombres réels.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, \infty)$

Notation de constructeur d’ensemble :

${x | x \in ℝ}$

Étape 4

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$[\frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63}, \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}]$

Notation de constructeur d’ensemble :

${y | \frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63} \leq y \leq \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}}$

Étape 5

Déterminez le domaine et la plage.

Domaine : $(- \infty, \infty), {x | x \in ℝ}$

Plage : $[\frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63}, \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}], {y | \frac{130 - 2 \sqrt{3973}}{63} \leq y \leq \frac{130 + 2 \sqrt{3973}}{63}}$

Étape 6