Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{2 x}{3 x - 1}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{2 x}{3 x - 1}$ comme une équation.

$y = \frac{2 x}{3 x - 1}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{2 y}{3 y - 1}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez l’équation par $3 y - 1$ .

$(3 y - 1) (x) = (\frac{2 y}{3 y - 1}) (3 y - 1)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $(3 y - 1) (x)$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 y x - 1 x = (\frac{2 y}{3 y - 1}) (3 y - 1)$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$3 y x - x = (\frac{2 y}{3 y - 1}) (3 y - 1)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $3 y - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 y x - x = \frac{2 y}{3 y - 1} (3 y - 1)$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 y x - x = 2 y$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $2 y$ des deux côtés de l’équation.

$3 y x - x - 2 y = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y x - 2 y = x$

Étape 3.4.3

Factorisez $y$ à partir de $3 y x - 2 y$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $3 y x$ .

$y (3 x) - 2 y = x$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 y$ .

$y (3 x) + y \cdot - 2 = x$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (3 x) + y \cdot - 2$ .

$y (3 x - 2) = x$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $y (3 x - 2) = x$ par $3 x - 2$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (3 x - 2) = x$ par $3 x - 2$ .

$\frac{y (3 x - 2)}{3 x - 2} = \frac{x}{3 x - 2}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3 x - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (3 x - 2)}{3 x - 2} = \frac{x}{3 x - 2}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x}{3 x - 2}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3 x - 2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3 x - 2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{2 x}{3 x - 1}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 1}}{3 (\frac{2 x}{3 x - 1}) - 2}$

Étape 5.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{3 (\frac{2 x}{3 x - 1}) - 2}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.1

Multipliez $3 \frac{2 x}{3 x - 1}$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Associez $3$ et $\frac{2 x}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{3 (2 x)}{3 x - 1} - 2}$

Étape 5.2.4.1.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 x}{3 x - 1} - 2}$

Étape 5.2.4.2

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 x}{3 x - 1} - 2 \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1}}$

Étape 5.2.4.3

Associez $- 2$ et $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 x}{3 x - 1} + \frac{- 2 (3 x - 1)}{3 x - 1}}$

Étape 5.2.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 x - 2 (3 x - 1)}{3 x - 1}}$

Étape 5.2.4.5

Réécrivez $\frac{6 x - 2 (3 x - 1)}{3 x - 1}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x - 2 (3 x - 1)$ .

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Étape 5.2.4.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x) - 2 (3 x - 1)}{3 x - 1}}$

Étape 5.2.4.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 (3 x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x) + 2 (- (3 x - 1))}{3 x - 1}}$

Étape 5.2.4.5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x) + 2 (- (3 x - 1))$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x - (3 x - 1))}{3 x - 1}}$

Étape 5.2.4.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x - (3 x) + 1)}{3 x - 1}}$

Étape 5.2.4.5.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x - 3 x + 1)}{3 x - 1}}$

Étape 5.2.4.5.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (3 x - 3 x + 1)}{3 x - 1}}$

Étape 5.2.4.5.5

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 (0 + 1)}{3 x - 1}}$

Étape 5.2.4.5.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 \cdot 1}{3 x - 1}}$

Étape 5.2.4.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{2}{3 x - 1}}$

Étape 5.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot (1 (\frac{3 x - 1}{2}))$

Étape 5.2.6

Multipliez $\frac{3 x - 1}{2}$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x - 1}{2}$

Étape 5.2.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 (x)}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x - 1}{2}$

Étape 5.2.7.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{2 x}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x - 1}{2}$

Étape 5.2.7.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1)$

Étape 5.2.8

Annulez le facteur commun de $3 x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = \frac{x}{3 x - 1} \cdot (3 x - 1)$

Étape 5.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{3 x - 1}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x}{3 x - 2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{2 (\frac{x}{3 x - 2})}{3 (\frac{x}{3 x - 2}) - 1}$

Étape 5.3.3

Associez $2$ et $\frac{x}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{3 (\frac{x}{3 x - 2}) - 1}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

Associez $3$ et $\frac{x}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x}{3 x - 2} - 1}$

Étape 5.3.4.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x}{3 x - 2} - 1 \cdot \frac{3 x - 2}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.4.3

Associez $- 1$ et $\frac{3 x - 2}{3 x - 2}$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x}{3 x - 2} + \frac{- (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x - (3 x - 2)}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.4.5

Réécrivez $\frac{3 x - (3 x - 2)}{3 x - 2}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.4.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x - (3 x) + 2}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.4.5.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x - 3 x + 2}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.4.5.3

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{3 x - 3 x + 2}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.4.5.4

Soustrayez $3 x$ de $3 x$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{0 + 2}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.4.5.5

Additionnez $0$ et $2$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{\frac{2 x}{3 x - 2}}{\frac{2}{3 x - 2}}$

Étape 5.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{2 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{2}$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{2 (x)}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{2}$

Étape 5.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{2 x}{3 x - 2} \cdot \frac{3 x - 2}{2}$

Étape 5.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $3 x - 2$ .

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Étape 5.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = \frac{x}{3 x - 2} \cdot (3 x - 2)$

Étape 5.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x}{3 x - 2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3 x - 2}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{2 x}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3 x - 2}$