Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{\sqrt{x + 7}}{4}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{\sqrt{x + 7}}{4}$ comme une équation.

$y = \frac{\sqrt{x + 7}}{4}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{\sqrt{y + 7}}{4}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{\sqrt{y + 7}}{4} = x$ .

$\frac{\sqrt{y + 7}}{4} = x$

Étape 3.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $4$ .

$4 \frac{\sqrt{y + 7}}{4} = 4 x$

Étape 3.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{\sqrt{y + 7}}{4} = 4 x$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\sqrt{y + 7} = 4 x$

Étape 3.4

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{y + 7}}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 3.5

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y + 7}$ comme ${(y + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez ${({(y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(y + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 3.5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(y + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 x)}^{2}$

Étape 3.5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(y + 7)}^{1} = {(4 x)}^{2}$

Étape 3.5.2.1.2

Simplifiez

$y + 7 = {(4 x)}^{2}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.1

Simplifiez ${(4 x)}^{2}$ .

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Étape 3.5.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $4 x$ .

$y + 7 = 4^{2} x^{2}$

Étape 3.5.3.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$y + 7 = 16 x^{2}$

Étape 3.6

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$y = 16 x^{2} - 7$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = 16 x^{2} - 7$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = 16 x^{2} - 7$ est l’inverse de $f (x) = \frac{\sqrt{x + 7}}{4}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 {(\frac{\sqrt{x + 7}}{4})}^{2} - 7$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{x + 7}}{4}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{{\sqrt{x + 7}}^{2}}{4^{2}}) - 7$

Étape 5.2.3.2

Réécrivez ${\sqrt{x + 7}}^{2}$ comme $x + 7$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 7}$ comme ${(x + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{{({(x + 7)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4^{2}}) - 7$

Étape 5.2.3.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{{(x + 7)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4^{2}}) - 7$

Étape 5.2.3.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{{(x + 7)}^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}) - 7$

Étape 5.2.3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{{(x + 7)}^{\frac{2}{2}}}{4^{2}}) - 7$

Étape 5.2.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{x + 7}{4^{2}}) - 7$

Étape 5.2.3.2.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{x + 7}{4^{2}}) - 7$

Étape 5.2.3.3

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{x + 7}{16}) - 7$

Étape 5.2.3.4

Annulez le facteur commun de $16$ .

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Étape 5.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = 16 (\frac{x + 7}{16}) - 7$

Étape 5.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = x + 7 - 7$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $x + 7 - 7$ .

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Étape 5.2.4.1

Soustrayez $7$ de $7$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{\sqrt{x + 7}}{4}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (16 x^{2} - 7)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (16 x^{2} - 7) = \frac{\sqrt{(16 x^{2} - 7) + 7}}{4}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Additionnez $- 7$ et $7$ .

$f (16 x^{2} - 7) = \frac{\sqrt{16 x^{2} + 0}}{4}$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $16 x^{2}$ et $0$ .

$f (16 x^{2} - 7) = \frac{\sqrt{16 x^{2}}}{4}$

Étape 5.3.3.3

Réécrivez $16 x^{2}$ comme ${(4 x)}^{2}$ .

$f (16 x^{2} - 7) = \frac{\sqrt{{(4 x)}^{2}}}{4}$

Étape 5.3.3.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (16 x^{2} - 7) = \frac{4 x}{4}$

Étape 5.3.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (16 x^{2} - 7) = \frac{4 x}{4}$

Étape 5.3.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (16 x^{2} - 7) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = 16 x^{2} - 7$ est l’inverse de $f (x) = \frac{\sqrt{x + 7}}{4}$ .

$f^{- 1} (x) = 16 x^{2} - 7$