Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{6 x + 5}{3 x - 1}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{6 x + 5}{3 x - 1}$ comme une équation.

$y = \frac{6 x + 5}{3 x - 1}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{6 y + 5}{3 y - 1}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez l’équation par $3 y - 1$ .

$(3 y - 1) (x) = (\frac{6 y + 5}{3 y - 1}) (3 y - 1)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $(3 y - 1) (x)$ .

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Étape 3.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 y x - 1 x = (\frac{6 y + 5}{3 y - 1}) (3 y - 1)$

Étape 3.2.1.2

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$3 y x - x = (\frac{6 y + 5}{3 y - 1}) (3 y - 1)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $3 y - 1$ .

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$3 y x - x = \frac{6 y + 5}{3 y - 1} (3 y - 1)$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$3 y x - x = 6 y + 5$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $6 y$ des deux côtés de l’équation.

$3 y x - x - 6 y = 5$

Étape 3.4.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y x - 6 y = 5 + x$

Étape 3.4.3

Factorisez $3 y$ à partir de $3 y x - 6 y$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $3 y$ à partir de $3 y x$ .

$3 y (x) - 6 y = 5 + x$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $3 y$ à partir de $- 6 y$ .

$3 y (x) + 3 y (- 2) = 5 + x$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $3 y$ à partir de $3 y (x) + 3 y (- 2)$ .

$3 y (x - 2) = 5 + x$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $3 y (x - 2) = 5 + x$ par $3 (x - 2)$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $3 y (x - 2) = 5 + x$ par $3 (x - 2)$ .

$\frac{3 y (x - 2)}{3 (x - 2)} = \frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y (x - 2)}{3 (x - 2)} = \frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}$

Étape 3.4.4.2.2

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 3.4.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}$

Étape 3.4.4.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{6 x + 5}{3 x - 1}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{5}{3 ((\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) - 2)} + \frac{\frac{6 x + 5}{3 x - 1}}{3 ((\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) - 2)}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{5 + \frac{6 x + 5}{3 x - 1}}{3 ((\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) - 2)}$

Étape 5.2.4

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{\frac{5 (3 x - 1)}{3 x - 1} + \frac{6 x + 5}{3 x - 1}}{3 ((\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) - 2)}$

Étape 5.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{\frac{5 (3 x - 1) + 6 x + 5}{3 x - 1}}{3 ((\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) - 2)}$

Étape 5.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{\frac{5 (3 x) + 5 \cdot - 1 + 6 x + 5}{3 x - 1}}{3 ((\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) - 2)}$

Étape 5.2.6.2

Multipliez $3$ par $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{\frac{15 x + 5 \cdot - 1 + 6 x + 5}{3 x - 1}}{3 ((\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) - 2)}$

Étape 5.2.6.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{\frac{15 x - 5 + 6 x + 5}{3 x - 1}}{3 ((\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) - 2)}$

Étape 5.2.6.4

Additionnez $15 x$ et $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{\frac{21 x - 5 + 5}{3 x - 1}}{3 ((\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) - 2)}$

Étape 5.2.6.5

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{\frac{21 x + 0}{3 x - 1}}{3 ((\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) - 2)}$

Étape 5.2.6.6

Additionnez $21 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{\frac{21 x}{3 x - 1}}{3 ((\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) - 2)}$

Étape 5.2.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{21 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{3 (\frac{6 x + 5}{3 x - 1} - 2)}$

Étape 5.2.8

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.8.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.8.1.1

Factorisez $3$ à partir de $21 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{3 (7 x)}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{3 (\frac{6 x + 5}{3 x - 1} - 2)}$

Étape 5.2.8.1.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{3 (7 x)}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{3 (\frac{6 x + 5}{3 x - 1} - 2)}$

Étape 5.2.8.1.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{7 x}{3 x - 1} \cdot \frac{1}{\frac{6 x + 5}{3 x - 1} - 2}$

Étape 5.2.8.2

Multipliez $\frac{7 x}{3 x - 1}$ par $\frac{1}{\frac{6 x + 5}{3 x - 1} - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{7 x}{(3 x - 1) (\frac{6 x + 5}{3 x - 1} - 2)}$

Étape 5.2.9

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.9.1

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{7 x}{(3 x - 1) (\frac{6 x + 5}{3 x - 1} - 2 \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1})}$

Étape 5.2.9.2

Associez $- 2$ et $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{7 x}{(3 x - 1) (\frac{6 x + 5}{3 x - 1} + \frac{- 2 (3 x - 1)}{3 x - 1})}$

Étape 5.2.9.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{7 x}{(3 x - 1) (\frac{6 x + 5 - 2 (3 x - 1)}{3 x - 1})}$

Étape 5.2.9.4

Réécrivez $\frac{6 x + 5 - 2 (3 x - 1)}{3 x - 1}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.9.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{7 x}{(3 x - 1) (\frac{6 x + 5 - 2 (3 x) - 2 \cdot - 1}{3 x - 1})}$

Étape 5.2.9.4.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{7 x}{(3 x - 1) (\frac{6 x + 5 - 6 x - 2 \cdot - 1}{3 x - 1})}$

Étape 5.2.9.4.3

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{7 x}{(3 x - 1) (\frac{6 x + 5 - 6 x + 2}{3 x - 1})}$

Étape 5.2.9.4.4

Soustrayez $6 x$ de $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{7 x}{(3 x - 1) (\frac{0 + 5 + 2}{3 x - 1})}$

Étape 5.2.9.4.5

Additionnez $0$ et $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{7 x}{(3 x - 1) (\frac{5 + 2}{3 x - 1})}$

Étape 5.2.9.4.6

Additionnez $5$ et $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{7 x}{(3 x - 1) (\frac{7}{3 x - 1})}$

Étape 5.2.10

Factorisez $\frac{7}{3 x - 1}$ à partir de $\frac{7 x}{(3 x - 1) \frac{7}{3 x - 1}}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{3 x - 1}{7} \cdot \frac{7 x}{3 x - 1}$

Étape 5.2.11

Annulez le facteur commun de $3 x - 1$ .

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Étape 5.2.11.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{3 x - 1}{7} \cdot \frac{7 x}{3 x - 1}$

Étape 5.2.11.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{1}{7} \cdot (7 x)$

Étape 5.2.12

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.2.12.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{1}{7} \cdot (7 (x))$

Étape 5.2.12.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = \frac{1}{7} \cdot (7 x)$

Étape 5.2.12.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 5}{3 x - 1}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{6 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{6 (\frac{5}{3 (x - 2)}) + 6 (\frac{x}{3 (x - 2)}) + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Étape 5.3.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{3 (2) (\frac{5}{3 (x - 2)}) + 6 (\frac{x}{3 (x - 2)}) + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Étape 5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{3 \cdot (2 (\frac{5}{3 (x - 2)})) + 6 (\frac{x}{3 (x - 2)}) + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Étape 5.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{2 (\frac{5}{x - 2}) + 6 (\frac{x}{3 (x - 2)}) + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Étape 5.3.3.3

Associez $2$ et $\frac{5}{x - 2}$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{2 \cdot 5}{x - 2} + 6 (\frac{x}{3 (x - 2)}) + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Étape 5.3.3.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{10}{x - 2} + 6 (\frac{x}{3 (x - 2)}) + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Étape 5.3.3.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.5.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{10}{x - 2} + 3 (2) (\frac{x}{3 (x - 2)}) + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Étape 5.3.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{10}{x - 2} + 3 \cdot (2 (\frac{x}{3 (x - 2)})) + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Étape 5.3.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{10}{x - 2} + 2 (\frac{x}{x - 2}) + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Étape 5.3.3.6

Associez $2$ et $\frac{x}{x - 2}$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{10}{x - 2} + \frac{2 x}{x - 2} + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Étape 5.3.3.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{10 + 2 x}{x - 2} + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Étape 5.3.3.8

Remettez dans l’ordre $10$ et $2 x$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{2 x + 10}{x - 2} + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Étape 5.3.3.9

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 10$ .

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Étape 5.3.3.9.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{2 (x) + 10}{x - 2} + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Étape 5.3.3.9.2

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{2 x + 2 \cdot 5}{x - 2} + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Étape 5.3.3.9.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 \cdot 5$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{2 (x + 5)}{x - 2} + 5}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Étape 5.3.3.10

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{2 (x + 5)}{x - 2} + \frac{5 (x - 2)}{x - 2}}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Étape 5.3.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{2 (x + 5) + 5 (x - 2)}{x - 2}}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Étape 5.3.3.12

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{5 (x - 2) + 2 (x + 5)}{x - 2}}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Étape 5.3.3.13

Réécrivez $\frac{5 (x - 2) + 2 (x + 5)}{x - 2}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.3.13.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{5 x + 5 \cdot - 2 + 2 (x + 5)}{x - 2}}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Étape 5.3.3.13.2

Multipliez $5$ par $- 2$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{5 x - 10 + 2 (x + 5)}{x - 2}}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Étape 5.3.3.13.3

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{5 x - 10 + 2 x + 2 \cdot 5}{x - 2}}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Étape 5.3.3.13.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{5 x - 10 + 2 x + 10}{x - 2}}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Étape 5.3.3.13.5

Additionnez $5 x$ et $2 x$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x - 10 + 10}{x - 2}}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Étape 5.3.3.13.6

Additionnez $- 10$ et $10$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x + 0}{x - 2}}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Étape 5.3.3.13.7

Additionnez $7 x$ et $0$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)}) + 3 (\frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Étape 5.3.4.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{3 (\frac{5}{3 (x - 2)}) + 3 (\frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Étape 5.3.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{\frac{5}{x - 2} + 3 (\frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Étape 5.3.4.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{\frac{5}{x - 2} + 3 (\frac{x}{3 (x - 2)}) - 1}$

Étape 5.3.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{\frac{5}{x - 2} + \frac{x}{x - 2} - 1}$

Étape 5.3.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{\frac{5 + x}{x - 2} - 1}$

Étape 5.3.4.5

Remettez dans l’ordre $5$ et $x$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{\frac{x + 5}{x - 2} - 1}$

Étape 5.3.4.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{\frac{x + 5}{x - 2} - 1 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

Étape 5.3.4.7

Associez $- 1$ et $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{\frac{x + 5}{x - 2} + \frac{- (x - 2)}{x - 2}}$

Étape 5.3.4.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{\frac{x + 5 - (x - 2)}{x - 2}}$

Étape 5.3.4.9

Réécrivez $\frac{x + 5 - (x - 2)}{x - 2}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.4.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{\frac{x + 5 - x + 2}{x - 2}}$

Étape 5.3.4.9.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{\frac{x + 5 - x + 2}{x - 2}}$

Étape 5.3.4.9.3

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{\frac{0 + 5 + 2}{x - 2}}$

Étape 5.3.4.9.4

Additionnez $0$ et $5$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{\frac{5 + 2}{x - 2}}$

Étape 5.3.4.9.5

Additionnez $5$ et $2$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{7 x}{x - 2}}{\frac{7}{x - 2}}$

Étape 5.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{7 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{7}$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.6.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x$ .

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{7 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{7}$

Étape 5.3.6.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{7 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{7}$

Étape 5.3.6.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $x - 2$ .

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Étape 5.3.7.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Étape 5.3.7.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{6 x + 5}{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5}{3 (x - 2)} + \frac{x}{3 (x - 2)}$