Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{6 x + 4}{4 x + 5}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{6 x + 4}{4 x + 5}$ comme une équation.

$y = \frac{6 x + 4}{4 x + 5}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{6 y + 4}{4 y + 5}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{6 y + 4}{4 y + 5} = x$ .

$\frac{6 y + 4}{4 y + 5} = x$

Étape 3.2

Factorisez $2$ à partir de $6 y + 4$ .

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Étape 3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 y$ .

$\frac{2 (3 y) + 4}{4 y + 5} = x$

Étape 3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (3 y) + 2 (2)}{4 y + 5} = x$

Étape 3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 y) + 2 (2)$ .

$\frac{2 (3 y + 2)}{4 y + 5} = x$

Étape 3.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$4 y + 5, 1$

Étape 3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$4 y + 5, 1$

Étape 3.3.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$4 y + 5$

Étape 3.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{2 (3 y + 2)}{4 y + 5} = x$ par $4 y + 5$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{2 (3 y + 2)}{4 y + 5} = x$ par $4 y + 5$ .

$\frac{2 (3 y + 2)}{4 y + 5} (4 y + 5) = x (4 y + 5)$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $4 y + 5$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 y + 2)}{4 y + 5} (4 y + 5) = x (4 y + 5)$

Étape 3.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 (3 y + 2) = x (4 y + 5)$

Étape 3.4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 (3 y) + 2 \cdot 2 = x (4 y + 5)$

Étape 3.4.2.3

Multipliez.

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Étape 3.4.2.3.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 y + 2 \cdot 2 = x (4 y + 5)$

Étape 3.4.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$6 y + 4 = x (4 y + 5)$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$6 y + 4 = x (4 y) + x \cdot 5$

Étape 3.4.3.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 3.4.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$6 y + 4 = 4 x y + x \cdot 5$

Étape 3.4.3.2.2

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$6 y + 4 = 4 x y + 5 x$

Étape 3.5

Résolvez l’équation.

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Étape 3.5.1

Soustrayez $4 x y$ des deux côtés de l’équation.

$6 y + 4 - 4 x y = 5 x$

Étape 3.5.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$6 y - 4 x y = 5 x - 4$

Étape 3.5.3

Factorisez $2 y$ à partir de $6 y - 4 x y$ .

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Étape 3.5.3.1

Factorisez $2 y$ à partir de $6 y$ .

$2 y (3) - 4 x y = 5 x - 4$

Étape 3.5.3.2

Factorisez $2 y$ à partir de $- 4 x y$ .

$2 y (3) + 2 y (- 2 x) = 5 x - 4$

Étape 3.5.3.3

Factorisez $2 y$ à partir de $2 y (3) + 2 y (- 2 x)$ .

$2 y (3 - 2 x) = 5 x - 4$

Étape 3.5.4

Divisez chaque terme dans $2 y (3 - 2 x) = 5 x - 4$ par $2 (3 - 2 x)$ et simplifiez.

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Étape 3.5.4.1

Divisez chaque terme dans $2 y (3 - 2 x) = 5 x - 4$ par $2 (3 - 2 x)$ .

$\frac{2 y (3 - 2 x)}{2 (3 - 2 x)} = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{- 4}{2 (3 - 2 x)}$

Étape 3.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y (3 - 2 x)}{2 (3 - 2 x)} = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{- 4}{2 (3 - 2 x)}$

Étape 3.5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y (3 - 2 x)}{3 - 2 x} = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{- 4}{2 (3 - 2 x)}$

Étape 3.5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $3 - 2 x$ .

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Étape 3.5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (3 - 2 x)}{3 - 2 x} = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{- 4}{2 (3 - 2 x)}$

Étape 3.5.4.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{- 4}{2 (3 - 2 x)}$

Étape 3.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 4$ et $2$ .

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Étape 3.5.4.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (3 - 2 x)}$

Étape 3.5.4.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.4.3.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (3 - 2 x)}$

Étape 3.5.4.3.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} + \frac{- 2}{3 - 2 x}$

Étape 3.5.4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} - \frac{2}{3 - 2 x}$

Étape 3.5.4.3.2

Pour écrire $- \frac{2}{3 - 2 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} - \frac{2}{3 - 2 x} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 3.5.4.3.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 (3 - 2 x)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.5.4.3.3.1

Multipliez $\frac{2}{3 - 2 x}$ par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} - \frac{2 \cdot 2}{(3 - 2 x) \cdot 2}$

Étape 3.5.4.3.3.2

Réorganisez les facteurs de $(3 - 2 x) \cdot 2$ .

$y = \frac{5 x}{2 (3 - 2 x)} - \frac{2 \cdot 2}{2 (3 - 2 x)}$

Étape 3.5.4.3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{5 x - 2 \cdot 2}{2 (3 - 2 x)}$

Étape 3.5.4.3.5

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$y = \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{6 x + 4}{4 x + 5}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{6 x + 4}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 5.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x + 4$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{2 (3 x) + 4}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{6 x + 4}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{2 (3 x) + 2 (2)}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{6 x + 4}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x) + 2 (2)$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{6 x + 4}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $6 x + 4$ .

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Étape 5.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x) + 4}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x) + 2 (2)}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 x) + 2 (2)$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{5 (\frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}) - 4}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.4.1

Multipliez $5 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Associez $5$ et $\frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{5 (2 (3 x + 2))}{4 x + 5} - 4}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.4.1.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{10 (3 x + 2)}{4 x + 5} - 4}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.4.2

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4 x + 5}{4 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{10 (3 x + 2)}{4 x + 5} - 4 \cdot \frac{4 x + 5}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.4.3

Associez $- 4$ et $\frac{4 x + 5}{4 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{10 (3 x + 2)}{4 x + 5} + \frac{- 4 (4 x + 5)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{10 (3 x + 2) - 4 (4 x + 5)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.4.5

Réécrivez $\frac{10 (3 x + 2) - 4 (4 x + 5)}{4 x + 5}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.4.5.1

Factorisez $2$ à partir de $10 (3 x + 2) - 4 (4 x + 5)$ .

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Étape 5.2.4.5.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10 (3 x + 2)$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (5 (3 x + 2)) - 4 (4 x + 5)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.4.5.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 (4 x + 5)$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (5 (3 x + 2)) + 2 (- 2 (4 x + 5))}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.4.5.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (5 (3 x + 2)) + 2 (- 2 (4 x + 5))$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (5 (3 x + 2) - 2 (4 x + 5))}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.4.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (5 (3 x) + 5 \cdot 2 - 2 (4 x + 5))}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.4.5.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (15 x + 5 \cdot 2 - 2 (4 x + 5))}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.4.5.4

Multipliez $5$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (15 x + 10 - 2 (4 x + 5))}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.4.5.5

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (15 x + 10 - 2 (4 x) - 2 \cdot 5)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.4.5.6

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (15 x + 10 - 8 x - 2 \cdot 5)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.4.5.7

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (15 x + 10 - 8 x - 10)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.4.5.8

Soustrayez $8 x$ de $15 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (7 x + 10 - 10)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.4.5.9

Soustrayez $10$ de $10$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 (7 x + 0)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.4.5.10

Additionnez $7 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{2 \cdot (7 x)}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.4.5.11

Multipliez $2$ par $7$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (3 - 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.5.1

Multipliez $- 2 \frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}$ .

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Étape 5.2.5.1.1

Associez $- 2$ et $\frac{2 (3 x + 2)}{4 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (3 + \frac{- 2 (2 (3 x + 2))}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.5.1.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (3 + \frac{- 4 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (3 - \frac{(4) (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.5.3

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4 x + 5}{4 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{3 (4 x + 5)}{4 x + 5} - \frac{4 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.5.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{3 (4 x + 5) - 4 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.5.5

Réécrivez $\frac{3 (4 x + 5) - 4 (3 x + 2)}{4 x + 5}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.5.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{3 (4 x) + 3 \cdot 5 - 4 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.5.5.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{12 x + 3 \cdot 5 - 4 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.5.5.3

Multipliez $3$ par $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{12 x + 15 - 4 (3 x + 2)}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.5.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{12 x + 15 - 4 (3 x) - 4 \cdot 2}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.5.5.5

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{12 x + 15 - 12 x - 4 \cdot 2}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.5.5.6

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{12 x + 15 - 12 x - 8}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.5.5.7

Soustrayez $12 x$ de $12 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{0 + 15 - 8}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.5.5.8

Additionnez $0$ et $15$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{15 - 8}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.5.5.9

Soustrayez $8$ de $15$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{2 (\frac{7}{4 x + 5})}$

Étape 5.2.6

Associez les fractions.

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Étape 5.2.6.1

Associez $2$ et $\frac{7}{4 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{\frac{2 \cdot 7}{4 x + 5}}$

Étape 5.2.6.2

Multipliez $2$ par $7$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{\frac{14 x}{4 x + 5}}{\frac{14}{4 x + 5}}$

Étape 5.2.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{14 x}{4 x + 5} \cdot \frac{4 x + 5}{14}$

Étape 5.2.8

Annulez le facteur commun de $14$ .

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Étape 5.2.8.1

Factorisez $14$ à partir de $14 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{14 (x)}{4 x + 5} \cdot \frac{4 x + 5}{14}$

Étape 5.2.8.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{14 x}{4 x + 5} \cdot \frac{4 x + 5}{14}$

Étape 5.2.8.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{x}{4 x + 5} \cdot (4 x + 5)$

Étape 5.2.9

Annulez le facteur commun de $4 x + 5$ .

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Étape 5.2.9.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = \frac{x}{4 x + 5} \cdot (4 x + 5)$

Étape 5.2.9.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{6 x + 4}{4 x + 5}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{6 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 4}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $6 \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)} + 4$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (3 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)})) + 4}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.1.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (3 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)})) + 2 (2)}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 2 (2)$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (3 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 2)}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.2

Associez $3$ et $\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{3 (5 x - 4)}{2 (3 - 2 x)} + 2)}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.3

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 (3 - 2 x)}{2 (3 - 2 x)}$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{3 (5 x - 4)}{2 (3 - 2 x)} + 2 \cdot \frac{2 (3 - 2 x)}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.4

Associez $2$ et $\frac{2 (3 - 2 x)}{2 (3 - 2 x)}$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{3 (5 x - 4)}{2 (3 - 2 x)} + \frac{2 (2 (3 - 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{3 (5 x - 4) + 2 (2 (3 - 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.6

Réécrivez $\frac{3 (5 x - 4) + 2 (2 (3 - 2 x))}{2 (3 - 2 x)}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{3 (5 x) + 3 \cdot - 4 + 2 (2 (3 - 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.6.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x + 3 \cdot - 4 + 2 (2 (3 - 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.6.3

Multipliez $3$ par $- 4$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 2 (2 (3 - 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.6.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 2 (2 \cdot 3 + 2 (- 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.6.5

Multipliez $2$ par $3$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 2 (6 + 2 (- 2 x))}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.6.6

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 2 (6 - 4 x)}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.6.7

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 2 \cdot 6 + 2 (- 4 x)}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.6.8

Multipliez $2$ par $6$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 12 + 2 (- 4 x)}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.6.9

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{15 x - 12 + 12 - 8 x}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.6.10

Soustrayez $8 x$ de $15 x$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x - 12 + 12}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.6.11

Additionnez $- 12$ et $12$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x + 0}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Étape 5.3.3.6.12

Additionnez $7 x$ et $0$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{4 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{2 (2) (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) + 5}$

Étape 5.3.4.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{2 \cdot (2 (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)})) + 5}$

Étape 5.3.4.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{2 (\frac{5 x - 4}{3 - 2 x}) + 5}$

Étape 5.3.4.2

Associez $2$ et $\frac{5 x - 4}{3 - 2 x}$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{2 (5 x - 4)}{3 - 2 x} + 5}$

Étape 5.3.4.3

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 - 2 x}{3 - 2 x}$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{2 (5 x - 4)}{3 - 2 x} + \frac{5 (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}$

Étape 5.3.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{2 (5 x - 4) + 5 (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}$

Étape 5.3.4.5

Réécrivez $\frac{2 (5 x - 4) + 5 (3 - 2 x)}{3 - 2 x}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.4.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{2 (5 x) + 2 \cdot - 4 + 5 (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}$

Étape 5.3.4.5.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{10 x + 2 \cdot - 4 + 5 (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}$

Étape 5.3.4.5.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{10 x - 8 + 5 (3 - 2 x)}{3 - 2 x}}$

Étape 5.3.4.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{10 x - 8 + 5 \cdot 3 + 5 (- 2 x)}{3 - 2 x}}$

Étape 5.3.4.5.5

Multipliez $5$ par $3$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{10 x - 8 + 15 + 5 (- 2 x)}{3 - 2 x}}$

Étape 5.3.4.5.6

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{10 x - 8 + 15 - 10 x}{3 - 2 x}}$

Étape 5.3.4.5.7

Soustrayez $10 x$ de $10 x$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{0 - 8 + 15}{3 - 2 x}}$

Étape 5.3.4.5.8

Soustrayez $8$ de $0$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{- 8 + 15}{3 - 2 x}}$

Étape 5.3.4.5.9

Additionnez $- 8$ et $15$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{2 (\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)})}{\frac{7}{3 - 2 x}}$

Étape 5.3.5

Associez $2$ et $\frac{7 x}{2 (3 - 2 x)}$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 (3 - 2 x)}}{\frac{7}{3 - 2 x}}$

Étape 5.3.6

Multipliez $2$ par $7$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{\frac{14 x}{2 (3 - 2 x)}}{\frac{7}{3 - 2 x}}$

Étape 5.3.7

Réduisez l’expression $\frac{14 x}{2 (3 - 2 x)}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $14 x$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 (3 - 2 x)}}{\frac{7}{3 - 2 x}}$

Étape 5.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{\frac{2 (7 x)}{2 (3 - 2 x)}}{\frac{7}{3 - 2 x}}$

Étape 5.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{\frac{7 x}{3 - 2 x}}{\frac{7}{3 - 2 x}}$

Étape 5.3.8

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{7 x}{3 - 2 x} \cdot \frac{3 - 2 x}{7}$

Étape 5.3.9

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.9.1

Factorisez $7$ à partir de $7 x$ .

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{7 (x)}{3 - 2 x} \cdot \frac{3 - 2 x}{7}$

Étape 5.3.9.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{7 x}{3 - 2 x} \cdot \frac{3 - 2 x}{7}$

Étape 5.3.9.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{x}{3 - 2 x} \cdot (3 - 2 x)$

Étape 5.3.10

Annulez le facteur commun de $3 - 2 x$ .

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Étape 5.3.10.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = \frac{x}{3 - 2 x} \cdot (3 - 2 x)$

Étape 5.3.10.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{6 x + 4}{4 x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x - 4}{2 (3 - 2 x)}$