Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{4 x}{9 x - 5}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{4 x}{9 x - 5}$ comme une équation.

$y = \frac{4 x}{9 x - 5}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{4 y}{9 y - 5}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez l’équation par $9 y - 5$ .

$(9 y - 5) (x) = (\frac{4 y}{9 y - 5}) (9 y - 5)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$9 y x - 5 x = (\frac{4 y}{9 y - 5}) (9 y - 5)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $9 y - 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$9 y x - 5 x = \frac{4 y}{9 y - 5} (9 y - 5)$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$9 y x - 5 x = 4 y$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Soustrayez $4 y$ des deux côtés de l’équation.

$9 y x - 5 x - 4 y = 0$

Étape 3.4.2

Ajoutez $5 x$ aux deux côtés de l’équation.

$9 y x - 4 y = 5 x$

Étape 3.4.3

Factorisez $y$ à partir de $9 y x - 4 y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $9 y x$ .

$y (9 x) - 4 y = 5 x$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- 4 y$ .

$y (9 x) + y \cdot - 4 = 5 x$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (9 x) + y \cdot - 4$ .

$y (9 x - 4) = 5 x$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $y (9 x - 4) = 5 x$ par $9 x - 4$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (9 x - 4) = 5 x$ par $9 x - 4$ .

$\frac{y (9 x - 4)}{9 x - 4} = \frac{5 x}{9 x - 4}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $9 x - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (9 x - 4)}{9 x - 4} = \frac{5 x}{9 x - 4}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{5 x}{9 x - 4}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{9 x - 4}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{9 x - 4}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{4 x}{9 x - 5}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{5 (\frac{4 x}{9 x - 5})}{9 (\frac{4 x}{9 x - 5}) - 4}$

Étape 5.2.3

Associez $5$ et $\frac{4 x}{9 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{9 (\frac{4 x}{9 x - 5}) - 4}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.1

Multipliez $9 \frac{4 x}{9 x - 5}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.4.1.1

Associez $9$ et $\frac{4 x}{9 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{9 (4 x)}{9 x - 5} - 4}$

Étape 5.2.4.1.2

Multipliez $4$ par $9$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{36 x}{9 x - 5} - 4}$

Étape 5.2.4.2

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9 x - 5}{9 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{36 x}{9 x - 5} - 4 \cdot \frac{9 x - 5}{9 x - 5}}$

Étape 5.2.4.3

Associez $- 4$ et $\frac{9 x - 5}{9 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{36 x}{9 x - 5} + \frac{- 4 (9 x - 5)}{9 x - 5}}$

Étape 5.2.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{36 x - 4 (9 x - 5)}{9 x - 5}}$

Étape 5.2.4.5

Réécrivez $\frac{36 x - 4 (9 x - 5)}{9 x - 5}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.4.5.1

Factorisez $4$ à partir de $36 x - 4 (9 x - 5)$ .

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Étape 5.2.4.5.1.1

Factorisez $4$ à partir de $36 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{4 (9 x) - 4 (9 x - 5)}{9 x - 5}}$

Étape 5.2.4.5.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 (9 x - 5)$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{4 (9 x) + 4 (- (9 x - 5))}{9 x - 5}}$

Étape 5.2.4.5.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (9 x) + 4 (- (9 x - 5))$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{4 (9 x - (9 x - 5))}{9 x - 5}}$

Étape 5.2.4.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{4 (9 x - (9 x) + 5)}{9 x - 5}}$

Étape 5.2.4.5.3

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{4 (9 x - 9 x + 5)}{9 x - 5}}$

Étape 5.2.4.5.4

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{4 (9 x - 9 x + 5)}{9 x - 5}}$

Étape 5.2.4.5.5

Soustrayez $9 x$ de $9 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{4 (0 + 5)}{9 x - 5}}$

Étape 5.2.4.5.6

Additionnez $0$ et $5$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{4 \cdot 5}{9 x - 5}}$

Étape 5.2.4.6

Multipliez $4$ par $5$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{5 (4 x)}{9 x - 5}}{\frac{20}{9 x - 5}}$

Étape 5.2.5

Multipliez $5$ par $4$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{\frac{20 x}{9 x - 5}}{\frac{20}{9 x - 5}}$

Étape 5.2.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{20 x}{9 x - 5} \cdot \frac{9 x - 5}{20}$

Étape 5.2.7

Annulez le facteur commun de $20$ .

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Étape 5.2.7.1

Factorisez $20$ à partir de $20 x$ .

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{20 (x)}{9 x - 5} \cdot \frac{9 x - 5}{20}$

Étape 5.2.7.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{20 x}{9 x - 5} \cdot \frac{9 x - 5}{20}$

Étape 5.2.7.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{x}{9 x - 5} \cdot (9 x - 5)$

Étape 5.2.8

Annulez le facteur commun de $9 x - 5$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = \frac{x}{9 x - 5} \cdot (9 x - 5)$

Étape 5.2.8.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{4 x}{9 x - 5}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{5 x}{9 x - 4})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{4 (\frac{5 x}{9 x - 4})}{9 (\frac{5 x}{9 x - 4}) - 5}$

Étape 5.3.3

Associez $4$ et $\frac{5 x}{9 x - 4}$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{9 (\frac{5 x}{9 x - 4}) - 5}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

Multipliez $9 \frac{5 x}{9 x - 4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.4.1.1

Associez $9$ et $\frac{5 x}{9 x - 4}$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{9 (5 x)}{9 x - 4} - 5}$

Étape 5.3.4.1.2

Multipliez $5$ par $9$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{45 x}{9 x - 4} - 5}$

Étape 5.3.4.2

Pour écrire $- 5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9 x - 4}{9 x - 4}$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{45 x}{9 x - 4} - 5 \cdot \frac{9 x - 4}{9 x - 4}}$

Étape 5.3.4.3

Associez $- 5$ et $\frac{9 x - 4}{9 x - 4}$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{45 x}{9 x - 4} + \frac{- 5 (9 x - 4)}{9 x - 4}}$

Étape 5.3.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{45 x - 5 (9 x - 4)}{9 x - 4}}$

Étape 5.3.4.5

Réécrivez $\frac{45 x - 5 (9 x - 4)}{9 x - 4}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.4.5.1

Factorisez $5$ à partir de $45 x - 5 (9 x - 4)$ .

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Étape 5.3.4.5.1.1

Factorisez $5$ à partir de $45 x$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{5 (9 x) - 5 (9 x - 4)}{9 x - 4}}$

Étape 5.3.4.5.1.2

Factorisez $5$ à partir de $- 5 (9 x - 4)$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{5 (9 x) + 5 (- (9 x - 4))}{9 x - 4}}$

Étape 5.3.4.5.1.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (9 x) + 5 (- (9 x - 4))$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{5 (9 x - (9 x - 4))}{9 x - 4}}$

Étape 5.3.4.5.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{5 (9 x - (9 x) + 4)}{9 x - 4}}$

Étape 5.3.4.5.3

Multipliez $9$ par $- 1$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{5 (9 x - 9 x + 4)}{9 x - 4}}$

Étape 5.3.4.5.4

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{5 (9 x - 9 x + 4)}{9 x - 4}}$

Étape 5.3.4.5.5

Soustrayez $9 x$ de $9 x$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{5 (0 + 4)}{9 x - 4}}$

Étape 5.3.4.5.6

Additionnez $0$ et $4$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{5 \cdot 4}{9 x - 4}}$

Étape 5.3.4.6

Multipliez $5$ par $4$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{4 (5 x)}{9 x - 4}}{\frac{20}{9 x - 4}}$

Étape 5.3.5

Multipliez $4$ par $5$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{\frac{20 x}{9 x - 4}}{\frac{20}{9 x - 4}}$

Étape 5.3.6

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{20 x}{9 x - 4} \cdot \frac{9 x - 4}{20}$

Étape 5.3.7

Annulez le facteur commun de $20$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.7.1

Factorisez $20$ à partir de $20 x$ .

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{20 (x)}{9 x - 4} \cdot \frac{9 x - 4}{20}$

Étape 5.3.7.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{20 x}{9 x - 4} \cdot \frac{9 x - 4}{20}$

Étape 5.3.7.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{x}{9 x - 4} \cdot (9 x - 4)$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun de $9 x - 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = \frac{x}{9 x - 4} \cdot (9 x - 4)$

Étape 5.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{5 x}{9 x - 4}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{9 x - 4}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{4 x}{9 x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{9 x - 4}$