Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x + 1}{2 x + 1}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{x + 1}{2 x + 1}$ comme une équation.

$y = \frac{x + 1}{2 x + 1}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{y + 1}{2 y + 1}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y + 1}{2 y + 1} = x$ .

$\frac{y + 1}{2 y + 1} = x$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 y + 1, 1$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$2 y + 1, 1$

Étape 3.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$2 y + 1$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{y + 1}{2 y + 1} = x$ par $2 y + 1$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{y + 1}{2 y + 1} = x$ par $2 y + 1$ .

$\frac{y + 1}{2 y + 1} (2 y + 1) = x (2 y + 1)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2 y + 1$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y + 1}{2 y + 1} (2 y + 1) = x (2 y + 1)$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y + 1 = x (2 y + 1)$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y + 1 = x (2 y) + x \cdot 1$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y + 1 = 2 x y + x \cdot 1$

Étape 3.3.3.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$y + 1 = 2 x y + x$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$y + 1 - 2 x y = x$

Étape 3.4.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y - 2 x y = x - 1$

Étape 3.4.3

Factorisez $y$ à partir de $y - 2 x y$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - 2 x y = x - 1$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 x y$ .

$y \cdot 1 + y (- 2 x) = x - 1$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 1 + y (- 2 x)$ .

$y (1 - 2 x) = x - 1$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $y (1 - 2 x) = x - 1$ par $1 - 2 x$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (1 - 2 x) = x - 1$ par $1 - 2 x$ .

$\frac{y (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x} + \frac{- 1}{1 - 2 x}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - 2 x$ .

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Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x} + \frac{- 1}{1 - 2 x}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x}{1 - 2 x} + \frac{- 1}{1 - 2 x}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x - 1}{1 - 2 x}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{1 - 2 x}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{1 - 2 x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x + 1}{2 x + 1}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{(\frac{x + 1}{2 x + 1}) - 1}{1 - 2 \frac{x + 1}{2 x + 1}}$

Étape 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2 x + 1$ .

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $\frac{\frac{x + 1}{2 x + 1} - 1}{1 - 2 \frac{x + 1}{2 x + 1}}$ par $\frac{2 x + 1}{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{2 x + 1}{2 x + 1} \cdot \frac{\frac{x + 1}{2 x + 1} - 1}{1 - 2 \frac{x + 1}{2 x + 1}}$

Étape 5.2.3.2

Associez.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{(2 x + 1) (\frac{x + 1}{2 x + 1} - 1)}{(2 x + 1) (1 - 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Étape 5.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{(2 x + 1) (\frac{x + 1}{2 x + 1}) + (2 x + 1) \cdot - 1}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Étape 5.2.5

Annulez le facteur commun de $2 x + 1$ .

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Étape 5.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{(2 x + 1) (\frac{x + 1}{2 x + 1}) + (2 x + 1) \cdot - 1}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Étape 5.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{x + 1 + (2 x + 1) \cdot - 1}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Étape 5.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{x + 1 + 2 x \cdot - 1 + 1 \cdot - 1}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Étape 5.2.6.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{x + 1 - 2 x + 1 \cdot - 1}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Étape 5.2.6.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{x + 1 - 2 x - 1}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Étape 5.2.6.4

Soustrayez $2 x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x + 1 - 1}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Étape 5.2.6.5

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x + 0}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Étape 5.2.6.6

Additionnez $- x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Étape 5.2.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.7.1

Factorisez $2 x + 1$ à partir de $(2 x + 1) \cdot 1 + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})$ .

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Étape 5.2.7.1.1

Factorisez $2 x + 1$ à partir de $(2 x + 1) \cdot 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (1) + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Étape 5.2.7.1.2

Factorisez $2 x + 1$ à partir de $(2 x + 1) (1) + (2 x + 1) (- 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (1 - 2 \frac{x + 1}{2 x + 1})}$

Étape 5.2.7.2

Associez $- 2$ et $\frac{x + 1}{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (1 + \frac{- 2 (x + 1)}{2 x + 1})}$

Étape 5.2.7.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (1 - \frac{(2) (x + 1)}{2 x + 1})}$

Étape 5.2.7.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (\frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{2 (x + 1)}{2 x + 1})}$

Étape 5.2.7.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (\frac{2 x + 1 - 2 (x + 1)}{2 x + 1})}$

Étape 5.2.7.6

Réécrivez $\frac{2 x + 1 - 2 (x + 1)}{2 x + 1}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.7.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (\frac{2 x + 1 - 2 x - 2 \cdot 1}{2 x + 1})}$

Étape 5.2.7.6.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (\frac{2 x + 1 - 2 x - 2}{2 x + 1})}$

Étape 5.2.7.6.3

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (\frac{0 + 1 - 2}{2 x + 1})}$

Étape 5.2.7.6.4

Additionnez $0$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (\frac{1 - 2}{2 x + 1})}$

Étape 5.2.7.6.5

Soustrayez $2$ de $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) (\frac{- 1}{2 x + 1})}$

Étape 5.2.7.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{(2 x + 1) \cdot (- 1 \frac{1}{2 x + 1})}$

Étape 5.2.7.8

Factorisez le signe négatif.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{- x}{- (2 x + 1) \frac{1}{2 x + 1}}$

Étape 5.2.8

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = \frac{x}{(2 x + 1) (\frac{1}{2 x + 1})}$

Étape 5.2.9

Factorisez $\frac{1}{2 x + 1}$ à partir de $\frac{x}{(2 x + 1) \frac{1}{2 x + 1}}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = (2 x + 1) (\frac{x}{2 x + 1})$

Étape 5.2.10

Annulez le facteur commun de $2 x + 1$ .

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Étape 5.2.10.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = (2 x + 1) (\frac{x}{2 x + 1})$

Étape 5.2.10.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x + 1}{2 x + 1}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x - 1}{1 - 2 x})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{(\frac{x - 1}{1 - 2 x}) + 1}{2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) + 1}$

Étape 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - 2 x$ .

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $\frac{\frac{x - 1}{1 - 2 x} + 1}{2 \frac{x - 1}{1 - 2 x} + 1}$ par $\frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x} \cdot \frac{\frac{x - 1}{1 - 2 x} + 1}{2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) + 1}$

Étape 5.3.3.2

Associez.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{(1 - 2 x) (\frac{x - 1}{1 - 2 x} + 1)}{(1 - 2 x) (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) + 1)}$

Étape 5.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{(1 - 2 x) (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) + (1 - 2 x) \cdot 1}{(1 - 2 x) (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

Étape 5.3.5

Annulez le facteur commun de $1 - 2 x$ .

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Étape 5.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{(1 - 2 x) (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) + (1 - 2 x) \cdot 1}{(1 - 2 x) (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

Étape 5.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{x - 1 + (1 - 2 x) \cdot 1}{(1 - 2 x) (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

Étape 5.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.6.1

Multipliez $1 - 2 x$ par $1$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{x - 1 + 1 - 2 x}{(1 - 2 x) \cdot (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

Étape 5.3.6.2

Soustrayez $2 x$ de $x$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x - 1 + 1}{(1 - 2 x) \cdot (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

Étape 5.3.6.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x + 0}{(1 - 2 x) \cdot (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

Étape 5.3.6.4

Additionnez $- x$ et $0$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) \cdot (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) \cdot 1}$

Étape 5.3.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.7.1

Factorisez $1 - 2 x$ à partir de $(1 - 2 x) \cdot 2 \frac{x - 1}{1 - 2 x} + (1 - 2 x) \cdot 1$ .

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Étape 5.3.7.1.1

Factorisez $1 - 2 x$ à partir de $(1 - 2 x) \cdot 1$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x})) + (1 - 2 x) (1)}$

Étape 5.3.7.1.2

Factorisez $1 - 2 x$ à partir de $(1 - 2 x) (2 \frac{x - 1}{1 - 2 x}) + (1 - 2 x) (1)$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (2 (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) + 1)}$

Étape 5.3.7.2

Associez $2$ et $\frac{x - 1}{1 - 2 x}$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{2 (x - 1)}{1 - 2 x} + 1)}$

Étape 5.3.7.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{2 (x - 1)}{1 - 2 x} + \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x})}$

Étape 5.3.7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{2 (x - 1) + 1 - 2 x}{1 - 2 x})}$

Étape 5.3.7.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{- 2 x + 2 (x - 1) + 1}{- 2 x + 1})}$

Étape 5.3.7.6

Réécrivez $\frac{- 2 x + 2 (x - 1) + 1}{- 2 x + 1}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.7.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{- 2 x + 2 x + 2 \cdot - 1 + 1}{- 2 x + 1})}$

Étape 5.3.7.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{- 2 x + 2 x - 2 + 1}{- 2 x + 1})}$

Étape 5.3.7.6.3

Additionnez $- 2 x$ et $2 x$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{0 - 2 + 1}{- 2 x + 1})}$

Étape 5.3.7.6.4

Soustrayez $2$ de $0$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{- 2 + 1}{- 2 x + 1})}$

Étape 5.3.7.6.5

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) (\frac{- 1}{- 2 x + 1})}$

Étape 5.3.7.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{(1 - 2 x) \cdot (- 1 \frac{1}{- 2 x + 1})}$

Étape 5.3.7.8

Factorisez le signe négatif.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{- x}{- (1 - 2 x) \frac{1}{- 2 x + 1}}$

Étape 5.3.8

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{x}{(1 - 2 x) (\frac{1}{- 2 x + 1})}$

Étape 5.3.9

Factorisez $\frac{1}{- 2 x + 1}$ à partir de $\frac{x}{(1 - 2 x) \frac{1}{- 2 x + 1}}$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = (- 2 x + 1) (\frac{x}{1 - 2 x})$

Étape 5.3.10

Multipliez $- 2 x + 1$ par $\frac{x}{1 - 2 x}$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{(- 2 x + 1) x}{1 - 2 x}$

Étape 5.3.11

Annulez le facteur commun à $- 2 x + 1$ et $1 - 2 x$ .

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Étape 5.3.11.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{(- 2 x + 1) x}{- 2 x + 1}$

Étape 5.3.11.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = \frac{(- 2 x + 1) x}{- 2 x + 1}$

Étape 5.3.11.3

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\frac{x - 1}{1 - 2 x}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{1 - 2 x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x + 1}{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x - 1}{1 - 2 x}$