Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x + 3}{x - 5}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{x + 3}{x - 5}$ comme une équation.

$y = \frac{x + 3}{x - 5}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{y + 3}{y - 5}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez l’équation par $y - 5$ .

$(y - 5) (x) = (\frac{y + 3}{y - 5}) (y - 5)$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y x - 5 x = (\frac{y + 3}{y - 5}) (y - 5)$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun de $y - 5$ .

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Étape 3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y x - 5 x = \frac{y + 3}{y - 5} (y - 5)$

Étape 3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y x - 5 x = y + 3$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$y x - 5 x - y = 3$

Étape 3.4.2

Ajoutez $5 x$ aux deux côtés de l’équation.

$y x - y = 3 + 5 x$

Étape 3.4.3

Factorisez $y$ à partir de $y x - y$ .

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Étape 3.4.3.1

Factorisez $y$ à partir de $y x$ .

$y (x) - y = 3 + 5 x$

Étape 3.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 3 + 5 x$

Étape 3.4.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 3 + 5 x$

Étape 3.4.4

Divisez chaque terme dans $y (x - 1) = 3 + 5 x$ par $x - 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.4.1

Divisez chaque terme dans $y (x - 1) = 3 + 5 x$ par $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{3}{x - 1} + \frac{5 x}{x - 1}$

Étape 3.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{3}{x - 1} + \frac{5 x}{x - 1}$

Étape 3.4.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{3}{x - 1} + \frac{5 x}{x - 1}$

Étape 3.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{3 + 5 x}{x - 1}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 + 5 x}{x - 1}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{3 + 5 x}{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x + 3}{x - 5}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{3 + 5 (\frac{x + 3}{x - 5})}{(\frac{x + 3}{x - 5}) - 1}$

Étape 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 5$ .

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Étape 5.2.3.1

Multipliez $\frac{3 + 5 \frac{x + 3}{x - 5}}{\frac{x + 3}{x - 5} - 1}$ par $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{x - 5}{x - 5} \cdot \frac{3 + 5 (\frac{x + 3}{x - 5})}{\frac{x + 3}{x - 5} - 1}$

Étape 5.2.3.2

Associez.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (3 + 5 (\frac{x + 3}{x - 5}))}{(x - 5) (\frac{x + 3}{x - 5} - 1)}$

Étape 5.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) \cdot 3 + (x - 5) (5 (\frac{x + 3}{x - 5}))}{(x - 5) (\frac{x + 3}{x - 5}) + (x - 5) \cdot - 1}$

Étape 5.2.5

Annulez le facteur commun de $x - 5$ .

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Étape 5.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) \cdot 3 + (x - 5) (5 (\frac{x + 3}{x - 5}))}{(x - 5) (\frac{x + 3}{x - 5}) + (x - 5) \cdot - 1}$

Étape 5.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) \cdot 3 + (x - 5) (5 (\frac{x + 3}{x - 5}))}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Étape 5.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.6.1

Factorisez $x - 5$ à partir de $(x - 5) \cdot 3 + (x - 5) \cdot 5 \frac{x + 3}{x - 5}$ .

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Étape 5.2.6.1.1

Factorisez $x - 5$ à partir de $(x - 5) \cdot 3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (3) + (x - 5) (5 (\frac{x + 3}{x - 5}))}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Étape 5.2.6.1.2

Factorisez $x - 5$ à partir de $(x - 5) (3) + (x - 5) (5 \frac{x + 3}{x - 5})$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (3 + 5 (\frac{x + 3}{x - 5}))}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Étape 5.2.6.2

Associez $5$ et $\frac{x + 3}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (3 + \frac{5 (x + 3)}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Étape 5.2.6.3

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 5}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{3 (x - 5)}{x - 5} + \frac{5 (x + 3)}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Étape 5.2.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{3 (x - 5) + 5 (x + 3)}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Étape 5.2.6.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{5 (x + 3) + 3 (x - 5)}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Étape 5.2.6.6

Réécrivez $\frac{5 (x + 3) + 3 (x - 5)}{x - 5}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.6.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{5 x + 5 \cdot 3 + 3 (x - 5)}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Étape 5.2.6.6.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{5 x + 15 + 3 (x - 5)}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Étape 5.2.6.6.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{5 x + 15 + 3 x + 3 \cdot - 5}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Étape 5.2.6.6.4

Multipliez $3$ par $- 5$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{5 x + 15 + 3 x - 15}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Étape 5.2.6.6.5

Additionnez $5 x$ et $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{8 x + 15 - 15}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Étape 5.2.6.6.6

Soustrayez $15$ de $15$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{8 x + 0}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Étape 5.2.6.6.7

Additionnez $8 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{8 x}{x - 5})}{x + 3 + (x - 5) \cdot - 1}$

Étape 5.2.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{8 x}{x - 5})}{x + 3 + x \cdot - 1 - 5 \cdot - 1}$

Étape 5.2.7.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{8 x}{x - 5})}{x + 3 - 1 \cdot x - 5 \cdot - 1}$

Étape 5.2.7.3

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{8 x}{x - 5})}{x + 3 - 1 \cdot x + 5}$

Étape 5.2.7.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{8 x}{x - 5})}{x + 3 - x + 5}$

Étape 5.2.7.5

Soustrayez $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{8 x}{x - 5})}{0 + 3 + 5}$

Étape 5.2.7.6

Additionnez $0$ et $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{8 x}{x - 5})}{3 + 5}$

Étape 5.2.7.7

Additionnez $3$ et $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{(x - 5) (\frac{8 x}{x - 5})}{8}$

Étape 5.2.8

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.2.8.1

Factorisez $\frac{8 x}{x - 5}$ à partir de $\frac{(x - 5) \frac{8 x}{x - 5}}{8}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{8 x}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{8}$

Étape 5.2.8.2

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 5.2.8.2.1

Factorisez $8$ à partir de $8 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{8 (x)}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{8}$

Étape 5.2.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{8 x}{x - 5} \cdot \frac{x - 5}{8}$

Étape 5.2.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{x}{x - 5} \cdot (x - 5)$

Étape 5.2.8.3

Annulez le facteur commun de $x - 5$ .

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Étape 5.2.8.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = \frac{x}{x - 5} \cdot (x - 5)$

Étape 5.2.8.3.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 5}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{3 + 5 x}{x - 1})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{(\frac{3 + 5 x}{x - 1}) + 3}{(\frac{3 + 5 x}{x - 1}) - 5}$

Étape 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

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Étape 5.3.3.1

Multipliez $\frac{\frac{3 + 5 x}{x - 1} + 3}{\frac{3 + 5 x}{x - 1} - 5}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{3 + 5 x}{x - 1} + 3}{\frac{3 + 5 x}{x - 1} - 5}$

Étape 5.3.3.2

Associez.

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{3 + 5 x}{x - 1} + 3)}{(x - 1) (\frac{3 + 5 x}{x - 1} - 5)}$

Étape 5.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 5}$

Étape 5.3.5

Simplifiez en annulant.

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Étape 5.3.5.1

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 5.3.5.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 5}$

Étape 5.3.5.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{3 + 5 x + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 5}$

Étape 5.3.5.2

Annulez le facteur commun de $x - 1$ .

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Étape 5.3.5.2.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{3 + 5 x + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 5}$

Étape 5.3.5.2.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{3 + 5 x + (x - 1) \cdot 3}{3 + 5 x + (x - 1) \cdot - 5}$

Étape 5.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{3 + 5 x + x \cdot 3 - 1 \cdot 3}{3 + 5 x + (x - 1) \cdot - 5}$

Étape 5.3.6.2

Déplacez $3$ à gauche de $x$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{3 + 5 x + 3 \cdot x - 1 \cdot 3}{3 + 5 x + (x - 1) \cdot - 5}$

Étape 5.3.6.3

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{3 + 5 x + 3 \cdot x - 3}{3 + 5 x + (x - 1) \cdot - 5}$

Étape 5.3.6.4

Soustrayez $3$ de $3$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{5 x + 3 x + 0}{3 + 5 x + (x - 1) \cdot - 5}$

Étape 5.3.6.5

Additionnez $5 x + 3 x$ et $0$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{5 x + 3 x}{3 + 5 x + (x - 1) \cdot - 5}$

Étape 5.3.6.6

Additionnez $5 x$ et $3 x$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{8 x}{3 + 5 x + (x - 1) \cdot - 5}$

Étape 5.3.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{8 x}{3 + 5 x + x \cdot - 5 - 1 \cdot - 5}$

Étape 5.3.7.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{8 x}{3 + 5 x - 5 \cdot x - 1 \cdot - 5}$

Étape 5.3.7.3

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{8 x}{3 + 5 x - 5 \cdot x + 5}$

Étape 5.3.7.4

Additionnez $3$ et $5$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{8 x}{5 x - 5 x + 8}$

Étape 5.3.7.5

Soustrayez $5 x$ de $5 x$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{8 x}{0 + 8}$

Étape 5.3.7.6

Additionnez $0$ et $8$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{8 x}{8}$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun de $8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = \frac{8 x}{8}$

Étape 5.3.8.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\frac{3 + 5 x}{x - 1}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{3 + 5 x}{x - 1}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x + 3}{x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 + 5 x}{x - 1}$