Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ comme une équation.

$y = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{6}{\sqrt{8 - y}}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{6}{\sqrt{8 - y}} = x$ .

$\frac{6}{\sqrt{8 - y}} = x$

Étape 3.2

Réalisez le produit en croix.

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Étape 3.2.1

Réalisez un produit en croix en définissant le produit du numérateur du côté droit et du dénominateur du côté gauche égal au produit du numérateur du côté gauche et du dénominateur du côté droit.

$x \cdot (\sqrt{8 - y}) = 6$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Multipliez $x$ par $\sqrt{8 - y}$ .

$x \sqrt{8 - y} = 6$

Étape 3.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(x \sqrt{8 - y})}^{2} = 6^{2}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{8 - y}$ comme ${(8 - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x {(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${(x {(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $x {(8 - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} {({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} {(8 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Étape 3.4.2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x^{2} {(8 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Étape 3.4.2.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x^{2} {(8 - y)}^{1} = 6^{2}$

Étape 3.4.2.1.3

Simplifiez

$x^{2} (8 - y) = 6^{2}$

Étape 3.4.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$x^{2} \cdot 8 + x^{2} (- y) = 6^{2}$

Étape 3.4.2.1.5

Remettez dans l’ordre.

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Étape 3.4.2.1.5.1

Déplacez $8$ à gauche de $x^{2}$ .

$8 \cdot x^{2} + x^{2} (- y) = 6^{2}$

Étape 3.4.2.1.5.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$8 x^{2} - x^{2} y = 6^{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$8 x^{2} - x^{2} y = 36$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Soustrayez $8 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- x^{2} y = 36 - 8 x^{2}$

Étape 3.5.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} y = 36 - 8 x^{2}$ par $- x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} y = 36 - 8 x^{2}$ par $- x^{2}$ .

$\frac{- x^{2} y}{- x^{2}} = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Étape 3.5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Étape 3.5.2.2.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{36}{- x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.2.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{36}{x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Étape 3.5.2.3.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.5.2.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{36}{x^{2}} + \frac{- 8 x^{2}}{- x^{2}}$

Étape 3.5.2.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{36}{x^{2}} + \frac{- 8}{- 1}$

Étape 3.5.2.3.1.2.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 8}{- 1}$ .

$y = - \frac{36}{x^{2}} - 1 \cdot - 8$

Étape 3.5.2.3.1.3

Réécrivez $- 1 \cdot - 8$ comme $- - 8$ .

$y = - \frac{36}{x^{2}} - - 8$

Étape 3.5.2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $- 8$ .

$y = - \frac{36}{x^{2}} + 8$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$ est l’inverse de $f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{{(\frac{6}{\sqrt{8 - x}})}^{2}} + 8$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.3.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{6^{2}}{{\sqrt{8 - x}}^{2}}} + 8$

Étape 5.2.3.1.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{\sqrt{8 - x}}^{2}}} + 8$

Étape 5.2.3.1.3

Réécrivez ${\sqrt{8 - x}}^{2}$ comme $8 - x$ .

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Étape 5.2.3.1.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{8 - x}$ comme ${(8 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{({(8 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}} + 8$

Étape 5.2.3.1.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{(8 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}} + 8$

Étape 5.2.3.1.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{(8 - x)}^{\frac{2}{2}}}} + 8$

Étape 5.2.3.1.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.1.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{{(8 - x)}^{\frac{2}{2}}}} + 8$

Étape 5.2.3.1.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{8 - x}} + 8$

Étape 5.2.3.1.3.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - \frac{36}{\frac{36}{8 - x}} + 8$

Étape 5.2.3.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - (36 (\frac{8 - x}{36})) + 8$

Étape 5.2.3.3

Annulez le facteur commun de $36$ .

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Étape 5.2.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - (36 (\frac{8 - x}{36})) + 8$

Étape 5.2.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - (8 - x) + 8$

Étape 5.2.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 1 \cdot 8 + x + 8$

Étape 5.2.3.5

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 8 + x + 8$

Étape 5.2.3.6

Multipliez $- - x$ .

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Étape 5.2.3.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 8 + 1 x + 8$

Étape 5.2.3.6.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = - 8 + x + 8$

Étape 5.2.4

Associez les termes opposés dans $- 8 + x + 8$ .

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Étape 5.2.4.1

Additionnez $- 8$ et $8$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = x + 0$

Étape 5.2.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{8 - x}}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (- \frac{36}{x^{2}} + 8)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - (- \frac{36}{x^{2}} + 8)}}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.3.1

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - (- \frac{36}{x^{2}} + \frac{8 x^{2}}{x^{2}})}}$

Étape 5.3.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{- 36 + 8 x^{2}}{x^{2}}}}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $4$ à partir de $- 36 + 8 x^{2}$ .

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Étape 5.3.3.3.1

Factorisez $4$ à partir de $- 36$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{4 (- 9) + 8 x^{2}}{x^{2}}}}$

Étape 5.3.3.3.2

Factorisez $4$ à partir de $8 x^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{4 (- 9) + 4 (2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Étape 5.3.3.3.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 9) + 4 (2 x^{2})$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{8 - \frac{4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Étape 5.3.3.4

Pour écrire $8$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{8 x^{2}}{x^{2}} - \frac{4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Étape 5.3.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{8 x^{2} - 4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Étape 5.3.3.6

Réécrivez $\frac{8 x^{2} - 4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.3.6.1

Factorisez $4$ à partir de $8 x^{2} - 4 (- 9 + 2 x^{2})$ .

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Étape 5.3.3.6.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8 x^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2}) - 4 (- 9 + 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Étape 5.3.3.6.1.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4 (- 9 + 2 x^{2})$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2}) + 4 (- (- 9 + 2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

Étape 5.3.3.6.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (2 x^{2}) + 4 (- (- 9 + 2 x^{2}))$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} - (- 9 + 2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

Étape 5.3.3.6.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} + 9 - (2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

Étape 5.3.3.6.3

Multipliez $- 1$ par $- 9$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} + 9 - (2 x^{2}))}{x^{2}}}}$

Étape 5.3.3.6.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (2 x^{2} + 9 - 2 x^{2})}{x^{2}}}}$

Étape 5.3.3.6.5

Soustrayez $2 x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 (0 + 9)}{x^{2}}}}$

Étape 5.3.3.6.6

Additionnez $0$ et $9$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{4 \cdot 9}{x^{2}}}}$

Étape 5.3.3.7

Multipliez $4$ par $9$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{36}{x^{2}}}}$

Étape 5.3.3.8

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{\frac{6^{2}}{x^{2}}}}$

Étape 5.3.3.9

Réécrivez $\frac{6^{2}}{x^{2}}$ comme ${(\frac{6}{x})}^{2}$ .

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\sqrt{{(\frac{6}{x})}^{2}}}$

Étape 5.3.3.10

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = \frac{6}{\frac{6}{x}}$

Étape 5.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = 6 (\frac{x}{6})$

Étape 5.3.5

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = 6 (\frac{x}{6})$

Étape 5.3.5.2

Réécrivez l’expression.

$f (- \frac{36}{x^{2}} + 8) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$ est l’inverse de $f (x) = \frac{6}{\sqrt{8 - x}}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{36}{x^{2}} + 8$