Pré-calcul Exemples

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} + 1$

Étape 1

Écrivez $f (x) = x^{\frac{1}{3}} + 1$ comme une équation.

$y = x^{\frac{1}{3}} + 1$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = y^{\frac{1}{3}} + 1$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $y^{\frac{1}{3}} + 1 = x$ .

$y^{\frac{1}{3}} + 1 = x$

Étape 3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y^{\frac{1}{3}} - x = - 1$

Étape 3.2.2

Ajoutez $x$ aux deux côtés de l’équation.

$y^{\frac{1}{3}} = - 1 + x$

Étape 3.3

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $3$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1 + x)}^{3}$

Étape 3.4

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.4.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.4.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1 + x)}^{3}$

Étape 3.4.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1 + x)}^{3}$

Étape 3.4.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(- 1 + x)}^{3}$

Étape 3.4.1.1.2

Simplifiez

$y = {(- 1 + x)}^{3}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${(- 1 + x)}^{3}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$y = {(- 1)}^{3} + 3 {(- 1)}^{2} x + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3}$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$y = - 1 + 3 {(- 1)}^{2} x + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3}$

Étape 3.4.2.1.2.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$y = - 1 + 3 \cdot 1 x + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3}$

Étape 3.4.2.1.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$y = - 1 + 3 x + 3 \cdot - 1 x^{2} + x^{3}$

Étape 3.4.2.1.2.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$y = - 1 + 3 x - 3 x^{2} + x^{3}$

Étape 3.5

Simplifiez $- 1 + 3 x - 3 x^{2} + x^{3}$ .

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Étape 3.5.1

Déplacez $- 1$ .

$y = 3 x - 3 x^{2} + x^{3} - 1$

Étape 3.5.2

Déplacez $3 x$ .

$y = - 3 x^{2} + x^{3} + 3 x - 1$

Étape 3.5.3

Remettez dans l’ordre $- 3 x^{2}$ et $x^{3}$ .

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ est l’inverse de $f (x) = x^{\frac{1}{3}} + 1$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 5.2.3.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Étape 5.2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Étape 5.2.3.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Étape 5.2.3.2.2

Simplifiez

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 {(x^{\frac{1}{3}})}^{2} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Étape 5.2.3.2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

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Étape 5.2.3.2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3} \cdot 2} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Étape 5.2.3.2.3.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $2$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Étape 5.2.3.2.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1^{2} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Étape 5.2.3.2.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Étape 5.2.3.2.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1^{3} - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Étape 5.2.3.2.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 {(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2} + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Étape 5.2.3.3

Réécrivez ${(x^{\frac{1}{3}} + 1)}^{2}$ comme $(x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} + 1)$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 ((x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} + 1)) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Étape 5.2.3.4

Développez $(x^{\frac{1}{3}} + 1) (x^{\frac{1}{3}} + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{1}{3}} (x^{\frac{1}{3}} + 1) + 1 (x^{\frac{1}{3}} + 1)) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Étape 5.2.3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1 (x^{\frac{1}{3}} + 1)) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Étape 5.2.3.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{1}{3}} x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{3}} + 1 \cdot 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Étape 5.2.3.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.5.1.1

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $x^{\frac{1}{3}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.3.5.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{1}{3} + \frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{3}} + 1 \cdot 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Étape 5.2.3.5.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{1 + 1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{3}} + 1 \cdot 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Étape 5.2.3.5.1.1.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} \cdot 1 + 1 x^{\frac{1}{3}} + 1 \cdot 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Étape 5.2.3.5.1.2

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + 1 x^{\frac{1}{3}} + 1 \cdot 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Étape 5.2.3.5.1.3

Multipliez $x^{\frac{1}{3}}$ par $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + 1 \cdot 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Étape 5.2.3.5.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{2}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{1}{3}} + 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Étape 5.2.3.5.2

Additionnez $x^{\frac{1}{3}}$ et $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 (x^{\frac{2}{3}} + 2 x^{\frac{1}{3}} + 1) + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Étape 5.2.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 x^{\frac{2}{3}} - 3 (2 x^{\frac{1}{3}}) - 3 \cdot 1 + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Étape 5.2.3.7

Simplifiez

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Étape 5.2.3.7.1

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 \cdot 1 + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Étape 5.2.3.7.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 3 (x^{\frac{1}{3}} + 1) - 1$

Étape 5.2.3.8

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 \cdot 1 - 1$

Étape 5.2.3.9

Multipliez $3$ par $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 - 1$

Étape 5.2.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.2.4.1

Associez les termes opposés dans $x + 3 x^{\frac{2}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 3 x^{\frac{2}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 - 1$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Soustrayez $3 x^{\frac{2}{3}}$ de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 + 0 - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 - 1$

Étape 5.2.4.1.2

Additionnez $x + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1$ et $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} - 3 + 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 - 1$

Étape 5.2.4.1.3

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 0 - 1$

Étape 5.2.4.1.4

Additionnez $x + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$ et $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} + 1 - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} - 1$

Étape 5.2.4.1.5

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}} + 0$

Étape 5.2.4.1.6

Additionnez $x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$ et $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 3 x^{\frac{1}{3}} - 6 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.2.4.2

Soustrayez $6 x^{\frac{1}{3}}$ de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x - 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$

Étape 5.2.4.3

Associez les termes opposés dans $x - 3 x^{\frac{1}{3}} + 3 x^{\frac{1}{3}}$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Additionnez $- 3 x^{\frac{1}{3}}$ et $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x + 0$

Étape 5.2.4.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{1}{3}} + 1) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1) = {(x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1)}^{\frac{1}{3}} + 1$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$ est l’inverse de $f (x) = x^{\frac{1}{3}} + 1$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1$