Pré-calcul Exemples

$f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$ comme une équation.

$y = \frac{x}{2 x + 1}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \frac{y}{2 y + 1}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{y}{2 y + 1} = x$ .

$\frac{y}{2 y + 1} = x$

Étape 3.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 y + 1, 1$

Étape 3.2.2

Supprimez les parenthèses.

$2 y + 1, 1$

Étape 3.2.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$2 y + 1$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\frac{y}{2 y + 1} = x$ par $2 y + 1$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{y}{2 y + 1} = x$ par $2 y + 1$ .

$\frac{y}{2 y + 1} (2 y + 1) = x (2 y + 1)$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2 y + 1$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{2 y + 1} (2 y + 1) = x (2 y + 1)$

Étape 3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = x (2 y + 1)$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = x (2 y) + x \cdot 1$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y = 2 x y + x \cdot 1$

Étape 3.3.3.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$y = 2 x y + x$

Étape 3.4

Résolvez l’équation.

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Étape 3.4.1

Soustrayez $2 x y$ des deux côtés de l’équation.

$y - 2 x y = x$

Étape 3.4.2

Factorisez $y$ à partir de $y - 2 x y$ .

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$y \cdot 1 - 2 x y = x$

Étape 3.4.2.2

Factorisez $y$ à partir de $- 2 x y$ .

$y \cdot 1 + y (- 2 x) = x$

Étape 3.4.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 1 + y (- 2 x)$ .

$y (1 - 2 x) = x$

Étape 3.4.3

Divisez chaque terme dans $y (1 - 2 x) = x$ par $1 - 2 x$ et simplifiez.

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Étape 3.4.3.1

Divisez chaque terme dans $y (1 - 2 x) = x$ par $1 - 2 x$ .

$\frac{y (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Étape 3.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - 2 x$ .

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Étape 3.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (1 - 2 x)}{1 - 2 x} = \frac{x}{1 - 2 x}$

Étape 3.4.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x}{1 - 2 x}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{\frac{x}{2 x + 1}}{1 - 2 \frac{x}{2 x + 1}}$

Étape 5.2.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{1 - 2 \frac{x}{2 x + 1}}$

Étape 5.2.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.4.1

Associez $- 2$ et $\frac{x}{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{1 + \frac{- 2 x}{2 x + 1}}$

Étape 5.2.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{1 - \frac{2 x}{2 x + 1}}$

Étape 5.2.4.3

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 1}{2 x + 1} - \frac{2 x}{2 x + 1}}$

Étape 5.2.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 1 - 2 x}{2 x + 1}}$

Étape 5.2.4.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{2 x - 2 x + 1}{2 x + 1}}$

Étape 5.2.4.6

Réécrivez $\frac{2 x - 2 x + 1}{2 x + 1}$ en forme factorisée.

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Étape 5.2.4.6.1

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{2 x + 1}}$

Étape 5.2.4.6.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2 x + 1}}$

Étape 5.2.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot (1 (2 x + 1))$

Étape 5.2.6

Annulez le facteur commun de $2 x + 1$ .

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Étape 5.2.6.1

Factorisez $2 x + 1$ à partir de $1 (2 x + 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot ((2 x + 1) \cdot 1)$

Étape 5.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = \frac{x}{2 x + 1} \cdot ((2 x + 1) \cdot 1)$

Étape 5.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\frac{x}{2 x + 1}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x}{1 - 2 x})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{\frac{x}{1 - 2 x}}{2 (\frac{x}{1 - 2 x}) + 1}$

Étape 5.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{2 (\frac{x}{1 - 2 x}) + 1}$

Étape 5.3.4

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.4.1

Associez $2$ et $\frac{x}{1 - 2 x}$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{1 - 2 x} + 1}$

Étape 5.3.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x}{1 - 2 x} + \frac{1 - 2 x}{1 - 2 x}}$

Étape 5.3.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x + 1 - 2 x}{1 - 2 x}}$

Étape 5.3.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{2 x - 2 x + 1}{- 2 x + 1}}$

Étape 5.3.4.5

Réécrivez $\frac{2 x - 2 x + 1}{- 2 x + 1}$ en forme factorisée.

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Étape 5.3.4.5.1

Soustrayez $2 x$ de $2 x$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{0 + 1}{- 2 x + 1}}$

Étape 5.3.4.5.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot \frac{1}{\frac{1}{- 2 x + 1}}$

Étape 5.3.5

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (1 (- 2 x + 1))$

Étape 5.3.6

Multipliez $- 2 x + 1$ par $1$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x}{1 - 2 x} \cdot (- 2 x + 1)$

Étape 5.3.7

Multipliez $\frac{x}{1 - 2 x}$ par $- 2 x + 1$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x (- 2 x + 1)}{1 - 2 x}$

Étape 5.3.8

Annulez le facteur commun à $- 2 x + 1$ et $1 - 2 x$ .

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Étape 5.3.8.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x (- 2 x + 1)}{- 2 x + 1}$

Étape 5.3.8.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = \frac{x (- 2 x + 1)}{- 2 x + 1}$

Étape 5.3.8.3

Divisez $x$ par $1$ .

$f (\frac{x}{1 - 2 x}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$ est l’inverse de $f (x) = \frac{x}{2 x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{1 - 2 x}$