Pré-calcul Exemples

$f (x) = \sqrt{3 x - 1} + 5$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt{3 x - 1} + 5$ comme une équation.

$y = \sqrt{3 x - 1} + 5$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{3 y - 1} + 5$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{3 y - 1} + 5 = x$ .

$\sqrt{3 y - 1} + 5 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{3 y - 1} = x - 5$

Étape 3.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{3 y - 1}}^{2} = {(x - 5)}^{2}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 y - 1}$ comme ${(3 y - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 5)}^{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${({(3 y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(3 y - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 5)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(3 y - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 5)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(3 y - 1)}^{1} = {(x - 5)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez

$3 y - 1 = {(x - 5)}^{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez ${(x - 5)}^{2}$ .

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Étape 3.4.3.1.1

Réécrivez ${(x - 5)}^{2}$ comme $(x - 5) (x - 5)$ .

$3 y - 1 = (x - 5) (x - 5)$

Étape 3.4.3.1.2

Développez $(x - 5) (x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 y - 1 = x (x - 5) - 5 (x - 5)$

Étape 3.4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$3 y - 1 = x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)$

Étape 3.4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 y - 1 = x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5$

Étape 3.4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$3 y - 1 = x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5$

Étape 3.4.3.1.3.1.2

Déplacez $- 5$ à gauche de $x$ .

$3 y - 1 = x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5$

Étape 3.4.3.1.3.1.3

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$3 y - 1 = x^{2} - 5 x - 5 x + 25$

Étape 3.4.3.1.3.2

Soustrayez $5 x$ de $- 5 x$ .

$3 y - 1 = x^{2} - 10 x + 25$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.5.1.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$3 y = x^{2} - 10 x + 25 + 1$

Étape 3.5.1.2

Additionnez $25$ et $1$ .

$3 y = x^{2} - 10 x + 26$

Étape 3.5.2

Divisez chaque terme dans $3 y = x^{2} - 10 x + 26$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $3 y = x^{2} - 10 x + 26$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 10 x}{3} + \frac{26}{3}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 10 x}{3} + \frac{26}{3}$

Étape 3.5.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{- 10 x}{3} + \frac{26}{3}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{3 x - 1} + 5$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{(\sqrt{3 x - 1} + 5)}^{2}}{3} - \frac{10 (\sqrt{3 x - 1} + 5)}{3} + \frac{26}{3}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{(\sqrt{3 x - 1} + 5)}^{2} - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

Réécrivez ${(\sqrt{3 x - 1} + 5)}^{2}$ comme $(\sqrt{3 x - 1} + 5) (\sqrt{3 x - 1} + 5)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{(\sqrt{3 x - 1} + 5) (\sqrt{3 x - 1} + 5) - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Étape 5.2.4.2

Développez $(\sqrt{3 x - 1} + 5) (\sqrt{3 x - 1} + 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.4.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{\sqrt{3 x - 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 5 (\sqrt{3 x - 1} + 5) - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Étape 5.2.4.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{\sqrt{3 x - 1} \sqrt{3 x - 1} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 (\sqrt{3 x - 1} + 5) - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Étape 5.2.4.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{\sqrt{3 x - 1} \sqrt{3 x - 1} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Étape 5.2.4.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.3.1.1

Multipliez $\sqrt{3 x - 1} \sqrt{3 x - 1}$ .

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Étape 5.2.4.3.1.1.1

Élevez $\sqrt{3 x - 1}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{\sqrt{3 x - 1} \sqrt{3 x - 1} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Étape 5.2.4.3.1.1.2

Élevez $\sqrt{3 x - 1}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{\sqrt{3 x - 1} \sqrt{3 x - 1} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Étape 5.2.4.3.1.1.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{\sqrt{3 x - 1}}^{1 + 1} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Étape 5.2.4.3.1.1.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{\sqrt{3 x - 1}}^{2} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Étape 5.2.4.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{3 x - 1}}^{2}$ comme $3 x - 1$ .

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Étape 5.2.4.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x - 1}$ comme ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{({(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Étape 5.2.4.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Étape 5.2.4.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Étape 5.2.4.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{2}{2}} + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Étape 5.2.4.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{(3 x - 1) + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Étape 5.2.4.3.1.2.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x - 1 + \sqrt{3 x - 1} \cdot 5 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Étape 5.2.4.3.1.3

Déplacez $5$ à gauche de $\sqrt{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x - 1 + 5 \cdot \sqrt{3 x - 1} + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \cdot 5 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Étape 5.2.4.3.1.4

Multipliez $5$ par $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x - 1 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \sqrt{3 x - 1} + 25 - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Étape 5.2.4.3.2

Additionnez $- 1$ et $25$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x + 24 + 5 \sqrt{3 x - 1} + 5 \sqrt{3 x - 1} - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Étape 5.2.4.3.3

Additionnez $5 \sqrt{3 x - 1}$ et $5 \sqrt{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x + 24 + 10 \sqrt{3 x - 1} - 10 (\sqrt{3 x - 1} + 5) + 26}{3}$

Étape 5.2.4.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x + 24 + 10 \sqrt{3 x - 1} - 10 \sqrt{3 x - 1} - 10 \cdot 5 + 26}{3}$

Étape 5.2.4.5

Multipliez $- 10$ par $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x + 24 + 10 \sqrt{3 x - 1} - 10 \sqrt{3 x - 1} - 50 + 26}{3}$

Étape 5.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.5.1

Associez les termes opposés dans $3 x + 24 + 10 \sqrt{3 x - 1} - 10 \sqrt{3 x - 1} - 50 + 26$ .

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Étape 5.2.5.1.1

Soustrayez $10 \sqrt{3 x - 1}$ de $10 \sqrt{3 x - 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x + 24 + 0 - 50 + 26}{3}$

Étape 5.2.5.1.2

Additionnez $3 x + 24$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x + 24 - 50 + 26}{3}$

Étape 5.2.5.2

Soustrayez $50$ de $24$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x - 26 + 26}{3}$

Étape 5.2.5.3

Associez les termes opposés dans $3 x - 26 + 26$ .

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Étape 5.2.5.3.1

Additionnez $- 26$ et $26$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x + 0}{3}$

Étape 5.2.5.3.2

Additionnez $3 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x}{3}$

Étape 5.2.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = \frac{3 x}{3}$

Étape 5.2.5.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 1} + 5) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) - 1} + 5$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3}) + 3 (- \frac{10 x}{3}) + 3 (\frac{26}{3}) - 1} + 5$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3}) + 3 (- \frac{10 x}{3}) + 3 (\frac{26}{3}) - 1} + 5$

Étape 5.3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} + 3 (- \frac{10 x}{3}) + 3 (\frac{26}{3}) - 1} + 5$

Étape 5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.2.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{10 x}{3}$ dans le numérateur.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} + 3 (\frac{- 10 x}{3}) + 3 (\frac{26}{3}) - 1} + 5$

Étape 5.3.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} + 3 (\frac{- 10 x}{3}) + 3 (\frac{26}{3}) - 1} + 5$

Étape 5.3.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} - 10 x + 3 (\frac{26}{3}) - 1} + 5$

Étape 5.3.3.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} - 10 x + 3 (\frac{26}{3}) - 1} + 5$

Étape 5.3.3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} - 10 x + 26 - 1} + 5$

Étape 5.3.3.3

Soustrayez $1$ de $26$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} - 10 x + 25} + 5$

Étape 5.3.3.4

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.3.3.4.1

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} - 10 x + 5^{2}} + 5$

Étape 5.3.3.4.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Étape 5.3.3.4.3

Réécrivez le polynôme.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}} + 5$

Étape 5.3.3.4.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 5$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = \sqrt{{(x - 5)}^{2}} + 5$

Étape 5.3.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = x - 5 + 5$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x - 5 + 5$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{3 x - 1} + 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} - \frac{10 x}{3} + \frac{26}{3}$