Pré-calcul Exemples

$f (x) = \sqrt{6 x - 3}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = \sqrt{6 x - 3}$ comme une équation.

$y = \sqrt{6 x - 3}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = \sqrt{6 y - 3}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\sqrt{6 y - 3} = x$ .

$\sqrt{6 y - 3} = x$

Étape 3.2

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{6 y - 3}}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{6 y - 3}$ comme ${(6 y - 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(6 y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez ${({(6 y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(6 y - 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 y - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(6 y - 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(6 y - 3)}^{1} = x^{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Simplifiez

$6 y - 3 = x^{2}$

Étape 3.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.4.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$6 y = x^{2} + 3$

Étape 3.4.2

Divisez chaque terme dans $6 y = x^{2} + 3$ par $6$ et simplifiez.

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Étape 3.4.2.1

Divisez chaque terme dans $6 y = x^{2} + 3$ par $6$ .

$\frac{6 y}{6} = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{6}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 y}{6} = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{6}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3}{6}$

Étape 3.4.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.2.3.1

Annulez le facteur commun à $3$ et $6$ .

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Étape 3.4.2.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3 (1)}{6}$

Étape 3.4.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.2.3.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Étape 3.4.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{6 x - 3}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{(\sqrt{6 x - 3})}^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x - 3$ .

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Étape 5.2.3.1.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{\sqrt{3 (2 x) - 3}}^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.1.1.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{\sqrt{3 (2 x) + 3 (- 1)}}^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.1.1.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (2 x) + 3 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{\sqrt{3 (2 x - 1)}}^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.1.2

Réécrivez ${\sqrt{3 (2 x - 1)}}^{2}$ comme $3 (2 x - 1)$ .

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Étape 5.2.3.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 (2 x - 1)}$ comme ${(3 (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{({(3 (2 x - 1))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6} + \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{(3 (2 x - 1))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6} + \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{(3 (2 x - 1))}^{\frac{2}{2}}}{6} + \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{{(3 (2 x - 1))}^{\frac{2}{2}}}{6} + \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x - 1)}{6} + \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.1.2.5

Simplifiez

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x - 1)}{6} + \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x) + 3 \cdot - 1}{6} + \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.1.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{6 x + 3 \cdot - 1}{6} + \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.1.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{6 x - 3}{6} + \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.1.6

Factorisez $3$ à partir de $6 x - 3$ .

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Étape 5.2.3.1.6.1

Factorisez $3$ à partir de $6 x$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x) - 3}{6} + \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.1.6.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x) + 3 (- 1)}{6} + \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.1.6.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (2 x) + 3 (- 1)$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x - 1)}{6} + \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x - 1)}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{3 (2 x - 1)}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2}$

Étape 5.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{2 x - 1}{2} + \frac{1}{2}$

Étape 5.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{2 x - 1 + 1}{2}$

Étape 5.2.4.2

Associez les termes opposés dans $2 x - 1 + 1$ .

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Étape 5.2.4.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Étape 5.2.4.2.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.4.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.4.3.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{6 x - 3}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{6 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) - 3}$

Étape 5.3.3

Factorisez $3$ à partir de $6 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) - 3$ .

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $3$ à partir de $6 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2})$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2})) - 3}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2})) + 3 (- 1)}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $3$ à partir de $3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2})) + 3 (- 1)$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) - 1)}$

Étape 5.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{6}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Étape 5.3.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{2 (3)}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Étape 5.3.5.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (2 (\frac{x^{2}}{2 \cdot 3}) + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Étape 5.3.5.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Étape 5.3.6

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.3.6.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 2 (\frac{1}{2}) - 1)}$

Étape 5.3.6.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 1 - 1)}$

Étape 5.3.7

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 5.3.7.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 0)}$

Étape 5.3.7.2

Additionnez $\frac{x^{2}}{3}$ et $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3})}$

Étape 5.3.8

Associez $3$ et $\frac{x^{2}}{3}$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{3 x^{2}}{3}}$

Étape 5.3.9

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.9.1

Réduisez l’expression $\frac{3 x^{2}}{3}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.3.9.1.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{3 x^{2}}{3}}$

Étape 5.3.9.1.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Étape 5.3.9.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = \sqrt{x^{2}}$

Étape 5.3.10

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}$ est l’inverse de $f (x) = \sqrt{6 x - 3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{6} + \frac{1}{2}$