Pré-calcul Exemples

$f (x) = e^{x - 5} - 5$

Étape 1

Écrivez $f (x) = e^{x - 5} - 5$ comme une équation.

$y = e^{x - 5} - 5$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = e^{y - 5} - 5$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $e^{y - 5} - 5 = x$ .

$e^{y - 5} - 5 = x$

Étape 3.2

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$e^{y - 5} = x + 5$

Étape 3.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{y - 5}) = \ln (x + 5)$

Étape 3.4

Développez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Développez $\ln (e^{y - 5})$ en déplaçant $y - 5$ hors du logarithme.

$(y - 5) \ln (e) = \ln (x + 5)$

Étape 3.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$(y - 5) \cdot 1 = \ln (x + 5)$

Étape 3.4.3

Multipliez $y - 5$ par $1$ .

$y - 5 = \ln (x + 5)$

Étape 3.5

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \ln (x + 5) + 5$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 5) + 5$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \ln (x + 5) + 5$ est l’inverse de $f (x) = e^{x - 5} - 5$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (e^{x - 5} - 5)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = \ln ((e^{x - 5} - 5) + 5) + 5$

Étape 5.2.3

Associez les termes opposés dans $\ln ((e^{x - 5} - 5) + 5) + 5$ .

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Étape 5.2.3.1

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = \ln (e^{x - 5} + 0) + 5$

Étape 5.2.3.2

Additionnez $e^{x - 5}$ et $0$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = \ln (e^{x - 5}) + 5$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $x - 5$ de l’exposant.

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = (x - 5) \ln (e) + 5$

Étape 5.2.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = (x - 5) \cdot 1 + 5$

Étape 5.2.4.3

Multipliez $x - 5$ par $1$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = x - 5 + 5$

Étape 5.2.5

Associez les termes opposés dans $x - 5 + 5$ .

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Étape 5.2.5.1

Additionnez $- 5$ et $5$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = x + 0$

Étape 5.2.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (e^{x - 5} - 5) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\ln (x + 5) + 5)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\ln (x + 5) + 5) = e^{(\ln (x + 5) + 5) - 5} - 5$

Étape 5.3.3

Associez les termes opposés dans $e^{(\ln (x + 5) + 5) - 5} - 5$ .

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Étape 5.3.3.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f (\ln (x + 5) + 5) = e^{\ln (x + 5) + 0} - 5$

Étape 5.3.3.2

Additionnez $\ln (x + 5)$ et $0$ .

$f (\ln (x + 5) + 5) = e^{\ln (x + 5)} - 5$

Étape 5.3.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$f (\ln (x + 5) + 5) = x + 5 - 5$

Étape 5.3.5

Associez les termes opposés dans $x + 5 - 5$ .

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Étape 5.3.5.1

Soustrayez $5$ de $5$ .

$f (\ln (x + 5) + 5) = x + 0$

Étape 5.3.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\ln (x + 5) + 5) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \ln (x + 5) + 5$ est l’inverse de $f (x) = e^{x - 5} - 5$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x + 5) + 5$