Pré-calcul Exemples

$f (x) = - 2 x^{2} + 3$

Étape 1

Écrivez $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ comme une équation.

$y = - 2 x^{2} + 3$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = - 2 y^{2} + 3$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $- 2 y^{2} + 3 = x$ .

$- 2 y^{2} + 3 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 y^{2} = x - 3$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $- 2 y^{2} = x - 3$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 y^{2} = x - 3$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 y^{2}}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{x}{- 2} + \frac{- 3}{- 2}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = - \frac{x}{2} + \frac{- 3}{- 2}$

Étape 3.3.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$y^{2} = - \frac{x}{2} + \frac{3}{2}$

Étape 3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x}{2} + \frac{3}{2}}$

Étape 3.5

Simplifiez $\pm \sqrt{- \frac{x}{2} + \frac{3}{2}}$ .

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Étape 3.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x + 3}{2}}$

Étape 3.5.2

Réécrivez $\sqrt{\frac{- x + 3}{2}}$ comme $\frac{\sqrt{- x + 3}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.5.3

Multipliez $\frac{\sqrt{- x + 3}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 3.5.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt{- x + 3}}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 3.5.4.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 3.5.4.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 3.5.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 3.5.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 3.5.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 3.5.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.5.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.5.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.5.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.5.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 3.5.4.6.5

Évaluez l’exposant.

$y = \pm \frac{\sqrt{- x + 3} \sqrt{2}}{2}$

Étape 3.5.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{(- x + 3) \cdot 2}}{2}$

Étape 3.5.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt{(- x + 3) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

Étape 3.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

Étape 3.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

Étape 3.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ .

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Étape 5.1

Le domaine de l’inverse est la plage de la fonction initiale et inversement. Déterminez le domaine et la plage de $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ et $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ puis comparez-les.

Étape 5.2

Déterminez la plage de $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ .

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Étape 5.2.1

La plage est l’ensemble de toutes les valeurs $y$ valides. Utilisez le graphe pour déterminer la plage.

Notation d’intervalle :

$(- \infty, 3]$

Étape 5.3

Déterminez le domaine de $\frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ .

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Étape 5.3.1

Définissez le radicande dans $\sqrt{2 (- x + 3)}$ supérieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est définie.

$2 (- x + 3) \geq 0$

Étape 5.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 (- x + 3) \geq 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.1.1

Divisez chaque terme dans $2 (- x + 3) \geq 0$ par $2$ .

$\frac{2 (- x + 3)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Étape 5.3.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- x + 3)}{2} \geq \frac{0}{2}$

Étape 5.3.2.1.2.1.2

Divisez $- x + 3$ par $1$ .

$- x + 3 \geq \frac{0}{2}$

Étape 5.3.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$- x + 3 \geq 0$

Étape 5.3.2.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’inégalité.

$- x \geq - 3$

Étape 5.3.2.3

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- x \geq - 3$ par $- 1$ . Lorsque vous multipliez ou divisez les deux côtés d’une inégalité par une valeur négative, inversez le sens du signe d’inégalité.

$\frac{- x}{- 1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

Étape 5.3.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

Étape 5.3.2.3.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x \leq \frac{- 3}{- 1}$

Étape 5.3.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.3.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$x \leq 3$

Étape 5.3.3

Le domaine est l’ensemble des valeurs de $x$ qui rendent l’expression définie.

$(- \infty, 3]$

Étape 5.4

Déterminez le domaine de $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ .

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Étape 5.4.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

$(- \infty, \infty)$

Étape 5.5

Comme le domaine de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ se trouve sur la plage de $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ et comme la plage de $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ est le domaine de $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = - 2 x^{2} + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}, - \frac{\sqrt{2 (- x + 3)}}{2}$

Étape 6