Pré-calcul Exemples

$f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$ comme une équation.

$y = 2 \sqrt{x} + 3$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 2 \sqrt{y} + 3$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $2 \sqrt{y} + 3 = x$ .

$2 \sqrt{y} + 3 = x$

Étape 3.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$2 \sqrt{y} = x - 3$

Étape 3.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(2 \sqrt{y})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${(2 y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 3)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 3)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 y^{1} = {(x - 3)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.4

Simplifiez

$4 y = {(x - 3)}^{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez ${(x - 3)}^{2}$ .

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Étape 3.4.3.1.1

Réécrivez ${(x - 3)}^{2}$ comme $(x - 3) (x - 3)$ .

$4 y = (x - 3) (x - 3)$

Étape 3.4.3.1.2

Développez $(x - 3) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 y = x (x - 3) - 3 (x - 3)$

Étape 3.4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 y = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)$

Étape 3.4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$4 y = x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Étape 3.4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$4 y = x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3$

Étape 3.4.3.1.3.1.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$4 y = x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3$

Étape 3.4.3.1.3.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 3$ .

$4 y = x^{2} - 3 x - 3 x + 9$

Étape 3.4.3.1.3.2

Soustrayez $3 x$ de $- 3 x$ .

$4 y = x^{2} - 6 x + 9$

Étape 3.5

Divisez chaque terme dans $4 y = x^{2} - 6 x + 9$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans $4 y = x^{2} - 6 x + 9$ par $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{9}{4}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{9}{4}$

Étape 3.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 6 x}{4} + \frac{9}{4}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.3.1.1

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $4$ .

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Étape 3.5.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{4} + \frac{9}{4}$

Étape 3.5.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (2)} + \frac{9}{4}$

Étape 3.5.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 2} + \frac{9}{4}$

Étape 3.5.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{- 3 x}{2} + \frac{9}{4}$

Étape 3.5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$ est l’inverse de $f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2} + \frac{9}{4}$

Étape 5.2.3

Pour écrire $- \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{4}$

Étape 5.2.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $4$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.4.1

Multipliez $\frac{3 (2 \sqrt{x} + 3)}{2}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{9}{4}$

Étape 5.2.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2}}{4} - \frac{3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2}{4} + \frac{9}{4}$

Étape 5.2.5

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.5.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2}{4} + \frac{9}{4}$

Étape 5.2.5.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 3 (2 \sqrt{x} + 3) \cdot 2 + 9}{4}$

Étape 5.2.5.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.5.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} + (- 3 (2 \sqrt{x}) - 3 \cdot 3) \cdot 2 + 9}{4}$

Étape 5.2.5.3.2

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} + (- 6 \sqrt{x} - 3 \cdot 3) \cdot 2 + 9}{4}$

Étape 5.2.5.3.3

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} + (- 6 \sqrt{x} - 9) \cdot 2 + 9}{4}$

Étape 5.2.5.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 6 \sqrt{x} \cdot 2 - 9 \cdot 2 + 9}{4}$

Étape 5.2.5.3.5

Multipliez $2$ par $- 6$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 12 \sqrt{x} - 9 \cdot 2 + 9}{4}$

Étape 5.2.5.3.6

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 12 \sqrt{x} - 18 + 9}{4}$

Étape 5.2.5.4

Additionnez $- 18$ et $9$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{{(2 \sqrt{x} + 3)}^{2} - 12 \sqrt{x} - 9}{4}$

Étape 5.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.6.1

Laissez $u = \sqrt{x}$ . Remplacez toutes les occurrences de $\sqrt{x}$ par $u$ .

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Étape 5.2.6.1.1

Soustrayez $12 u$ de $12 u$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2} + 0 + 9 - 9}{4}$

Étape 5.2.6.1.2

Additionnez $4 u^{2}$ et $0$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2} + 9 - 9}{4}$

Étape 5.2.6.1.3

Soustrayez $9$ de $9$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2} + 0}{4}$

Étape 5.2.6.1.4

Additionnez $4 u^{2}$ et $0$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 u^{2}}{4}$

Étape 5.2.6.2

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sqrt{x}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 {\sqrt{x}}^{2}}{4}$

Étape 5.2.6.3

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 5.2.6.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4}$

Étape 5.2.6.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4}$

Étape 5.2.6.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 5.2.6.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.6.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x^{\frac{2}{2}}}{4}$

Étape 5.2.6.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x}{4}$

Étape 5.2.6.3.5

Simplifiez

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x}{4}$

Étape 5.2.7

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.2.7.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = \frac{4 x}{4}$

Étape 5.2.7.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 \sqrt{x} + 3) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

Étape 5.3.3

Supprimez les parenthèses.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

Étape 5.3.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.4.1

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.3.4.1.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{x^{2}}{2^{2}} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

Étape 5.3.4.1.2

Réécrivez $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ comme ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}} + 3$

Étape 5.3.4.1.3

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{3^{2}}{4}} + 3$

Étape 5.3.4.1.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + \frac{3^{2}}{2^{2}}} + 3$

Étape 5.3.4.1.5

Réécrivez $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ comme ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - \frac{3 x}{2} + {(\frac{3}{2})}^{2}} + 3$

Étape 5.3.4.1.6

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$\frac{3 x}{2} = 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{2}$

Étape 5.3.4.1.7

Réécrivez le polynôme.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 2 \cdot \frac{x}{2} \cdot \frac{3}{2} + {(\frac{3}{2})}^{2}} + 3$

Étape 5.3.4.1.8

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = \frac{x}{2}$ et $b = \frac{3}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x}{2} - \frac{3}{2})}^{2}} + 3$

Étape 5.3.4.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x - 3}{2})}^{2}} + 3$

Étape 5.3.4.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{x - 3}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{2^{2}}} + 3$

Étape 5.3.4.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{4}} + 3$

Étape 5.3.4.5

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{\frac{{(x - 3)}^{2}}{2^{2}}} + 3$

Étape 5.3.4.6

Réécrivez $\frac{{(x - 3)}^{2}}{2^{2}}$ comme ${(\frac{x - 3}{2})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 \sqrt{{(\frac{x - 3}{2})}^{2}} + 3$

Étape 5.3.4.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 (\frac{x - 3}{2}) + 3$

Étape 5.3.4.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.4.8.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = 2 (\frac{x - 3}{2}) + 3$

Étape 5.3.4.8.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = x - 3 + 3$

Étape 5.3.5

Associez les termes opposés dans $x - 3 + 3$ .

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Étape 5.3.5.1

Additionnez $- 3$ et $3$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = x + 0$

Étape 5.3.5.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$ est l’inverse de $f (x) = 2 \sqrt{x} + 3$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2} + \frac{9}{4}$