Pré-calcul Exemples

$f (x) = 2 x^{3} - 4$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 2 x^{3} - 4$ comme une équation.

$y = 2 x^{3} - 4$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 2 y^{3} - 4$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $2 y^{3} - 4 = x$ .

$2 y^{3} - 4 = x$

Étape 3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y^{3} = x + 4$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $2 y^{3} = x + 4$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y^{3} = x + 4$ par $2$ .

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{4}{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y^{3}}{2} = \frac{x}{2} + \frac{4}{2}$

Étape 3.3.2.1.2

Divisez $y^{3}$ par $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{2} + \frac{4}{2}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Divisez $4$ par $2$ .

$y^{3} = \frac{x}{2} + 2$

Étape 3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{2} + 2}$

Étape 3.5

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{x}{2} + 2}$ .

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Étape 3.5.1

Pour écrire $2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 3.5.2

Associez $2$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}$

Étape 3.5.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 2 \cdot 2}{2}}$

Étape 3.5.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 4}{2}}$

Étape 3.5.5

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{x + 4}{2}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{\sqrt[3]{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{\sqrt[3]{2}}$

Étape 3.5.6

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{\sqrt[3]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 3.5.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.5.7.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{x + 4}}{\sqrt[3]{2}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 3.5.7.2

Élevez $\sqrt[3]{2}$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Étape 3.5.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Étape 3.5.7.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Étape 3.5.7.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ comme $2$ .

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Étape 3.5.7.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{2}$ comme $2^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 3.5.7.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.5.7.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.5.7.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.7.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Étape 3.5.7.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Étape 3.5.7.5.5

Évaluez l’exposant.

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Étape 3.5.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.8.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Étape 3.5.8.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 4} \sqrt[3]{4}}{2}$

Étape 3.5.9

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.5.9.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x + 4) \cdot 4}}{2}$

Étape 3.5.9.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[3]{(x + 4) \cdot 4}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}$

Étape 4

Remplacez $y$ par $f^{- 1} (x)$ pour montrer la réponse finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = 2 x^{3} - 4$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (2 x^{3} - 4)$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{4 ((2 x^{3} - 4) + 4)}}{2}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.3.1

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{4 (2 x^{3} + 0)}}{2}$

Étape 5.2.3.2

Additionnez $2 x^{3}$ et $0$ .

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{4 \cdot (2 x^{3})}}{2}$

Étape 5.2.3.3

Multipliez $4$ par $2$ .

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

Étape 5.2.3.4

Réécrivez $8 x^{3}$ comme ${(2 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

Étape 5.2.3.5

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = \frac{2 x}{2}$

Étape 5.2.4.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (2 x^{3} - 4) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 {(\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2})}^{3} - 4$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}^{3}}{2^{3}}) - 4$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.2.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{4 (x + 4)}}^{3}$ comme $4 (x + 4)$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{4 (x + 4)}$ comme ${(4 (x + 4))}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{{({(4 (x + 4))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}}) - 4$

Étape 5.3.3.2.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{{(4 (x + 4))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}) - 4$

Étape 5.3.3.2.1.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{{(4 (x + 4))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 4$

Étape 5.3.3.2.1.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.3.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{{(4 (x + 4))}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 4$

Étape 5.3.3.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 4)}{2^{3}}) - 4$

Étape 5.3.3.2.1.5

Simplifiez

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 4)}{2^{3}}) - 4$

Étape 5.3.3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 x + 4 \cdot 4}{2^{3}}) - 4$

Étape 5.3.3.2.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 x + 16}{2^{3}}) - 4$

Étape 5.3.3.2.4

Factorisez $4$ à partir de $4 x + 16$ .

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Étape 5.3.3.2.4.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x) + 16}{2^{3}}) - 4$

Étape 5.3.3.2.4.2

Factorisez $4$ à partir de $16$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 x + 4 \cdot 4}{2^{3}}) - 4$

Étape 5.3.3.2.4.3

Factorisez $4$ à partir de $4 x + 4 \cdot 4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 4)}{2^{3}}) - 4$

Étape 5.3.3.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 4)}{8}) - 4$

Étape 5.3.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 4)}{2 (4)}) - 4$

Étape 5.3.3.4.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = 2 (\frac{4 (x + 4)}{2 \cdot 4}) - 4$

Étape 5.3.3.4.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = \frac{4 (x + 4)}{4} - 4$

Étape 5.3.3.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.3.5.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = \frac{4 (x + 4)}{4} - 4$

Étape 5.3.3.5.2

Divisez $x + 4$ par $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = x + 4 - 4$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $x + 4 - 4$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}$ est l’inverse de $f (x) = 2 x^{3} - 4$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{4 (x + 4)}}{2}$