Pré-calcul Exemples

$f (x) = 4 + \sqrt[3]{x}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = 4 + \sqrt[3]{x}$ comme une équation.

$y = 4 + \sqrt[3]{x}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = 4 + \sqrt[3]{y}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $4 + \sqrt[3]{y} = x$ .

$4 + \sqrt[3]{y} = x$

Étape 3.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt[3]{y} = x - 4$

Étape 3.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${\sqrt[3]{y}}^{3} = {(x - 4)}^{3}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{y}$ comme $y^{\frac{1}{3}}$ .

${(y^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(x - 4)}^{3}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Étape 3.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 4)}^{3}$

Étape 3.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(x - 4)}^{3}$

Étape 3.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {(x - 4)}^{3}$

Étape 3.4.2.1.2

Simplifiez

$y = {(x - 4)}^{3}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez ${(x - 4)}^{3}$ .

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Étape 3.4.3.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$y = x^{3} + 3 x^{2} \cdot - 4 + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}$

Étape 3.4.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.2.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 3 x {(- 4)}^{2} + {(- 4)}^{3}$

Étape 3.4.3.1.2.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 3 x \cdot 16 + {(- 4)}^{3}$

Étape 3.4.3.1.2.3

Multipliez $16$ par $3$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x + {(- 4)}^{3}$

Étape 3.4.3.1.2.4

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$y = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ est l’inverse de $f (x) = 4 + \sqrt[3]{x}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = {(4 + \sqrt[3]{x})}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Étape 5.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1

Utilisez le théorème du binôme.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 4^{3} + 3 \cdot (4^{2} \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot (4 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Étape 5.2.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.2.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 3 \cdot (4^{2} \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot (4 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Étape 5.2.3.2.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 3 \cdot (16 \sqrt[3]{x}) + 3 \cdot (4 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Étape 5.2.3.2.3

Multipliez $3$ par $16$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 3 \cdot (4 {\sqrt[3]{x}}^{2}) + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Étape 5.2.3.2.4

Multipliez $3$ par $4$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 {\sqrt[3]{x}}^{2} + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Étape 5.2.3.2.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + {\sqrt[3]{x}}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Étape 5.2.3.2.6

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ comme $x$ .

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Étape 5.2.3.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Étape 5.2.3.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Étape 5.2.3.2.6.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{3}{3}} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Étape 5.2.3.2.6.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.2.3.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x^{\frac{3}{3}} - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Étape 5.2.3.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Étape 5.2.3.2.6.5

Simplifiez

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 {(4 + \sqrt[3]{x})}^{2} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Étape 5.2.3.3

Réécrivez ${(4 + \sqrt[3]{x})}^{2}$ comme $(4 + \sqrt[3]{x}) (4 + \sqrt[3]{x})$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 ((4 + \sqrt[3]{x}) (4 + \sqrt[3]{x})) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Étape 5.2.3.4

Développez $(4 + \sqrt[3]{x}) (4 + \sqrt[3]{x})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (4 (4 + \sqrt[3]{x}) + \sqrt[3]{x} (4 + \sqrt[3]{x})) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Étape 5.2.3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (4 \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} (4 + \sqrt[3]{x})) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Étape 5.2.3.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (4 \cdot 4 + 4 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Étape 5.2.3.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.5.1.1

Multipliez $4$ par $4$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 4 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \cdot 4 + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Étape 5.2.3.5.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $\sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Étape 5.2.3.5.1.3

Multipliez $\sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}$ .

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Étape 5.2.3.5.1.3.1

Élevez $\sqrt[3]{x}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x} \sqrt[3]{x}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Étape 5.2.3.5.1.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + {\sqrt[3]{x}}^{1 + 1}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Étape 5.2.3.5.1.3.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + {\sqrt[3]{x}}^{2}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Étape 5.2.3.5.1.4

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 4 \sqrt[3]{x} + 4 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^{2}}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Étape 5.2.3.5.2

Additionnez $4 \sqrt[3]{x}$ et $4 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 (16 + 8 \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{x^{2}}) + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Étape 5.2.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 12 \cdot 16 - 12 (8 \sqrt[3]{x}) - 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Étape 5.2.3.7

Simplifiez

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Étape 5.2.3.7.1

Multipliez $- 12$ par $16$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 192 - 12 (8 \sqrt[3]{x}) - 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Étape 5.2.3.7.2

Multipliez $8$ par $- 12$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 192 - 96 \sqrt[3]{x} - 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 (4 + \sqrt[3]{x}) - 64$

Étape 5.2.3.8

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 192 - 96 \sqrt[3]{x} - 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 48 \cdot 4 + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Étape 5.2.3.9

Multipliez $48$ par $4$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 192 - 96 \sqrt[3]{x} - 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Étape 5.2.4

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 5.2.4.1

Associez les termes opposés dans $64 + 48 \sqrt[3]{x} + 12 \sqrt[3]{x^{2}} + x - 192 - 96 \sqrt[3]{x} - 12 \sqrt[3]{x^{2}} + 192 + 48 \sqrt[3]{x} - 64$ .

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Étape 5.2.4.1.1

Soustrayez $12 \sqrt[3]{x^{2}}$ de $12 \sqrt[3]{x^{2}}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + 0 + x - 192 - 96 \sqrt[3]{x} + 192 + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Étape 5.2.4.1.2

Additionnez $64 + 48 \sqrt[3]{x}$ et $0$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + x - 192 - 96 \sqrt[3]{x} + 192 + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Étape 5.2.4.1.3

Additionnez $- 192$ et $192$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + x + 0 - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Étape 5.2.4.1.4

Additionnez $64 + 48 \sqrt[3]{x} + x$ et $0$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 64 + 48 \sqrt[3]{x} + x - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x} - 64$

Étape 5.2.4.1.5

Soustrayez $64$ de $64$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 0 + 48 \sqrt[3]{x} + x - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$

Étape 5.2.4.1.6

Additionnez $0$ et $48 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = 48 \sqrt[3]{x} + x - 96 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$

Étape 5.2.4.2

Soustrayez $96 \sqrt[3]{x}$ de $48 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = x - 48 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$

Étape 5.2.4.3

Associez les termes opposés dans $x - 48 \sqrt[3]{x} + 48 \sqrt[3]{x}$ .

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Étape 5.2.4.3.1

Additionnez $- 48 \sqrt[3]{x}$ et $48 \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = x + 0$

Étape 5.2.4.3.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt[3]{x}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64)$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = 4 + \sqrt[3]{x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Faites correspondre chaque terme aux termes de la formule du théorème du binôme.

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = 4 + \sqrt[3]{x^{3} - 3 \cdot (4 x^{2}) + 3 \cdot (4^{2} x) - 1 \cdot 4^{3}}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $x^{3} - 3 \cdot 4 x^{2} + 3 \cdot 4^{2} x - 1 \cdot 4^{3}$ en utilisant le théorème du binôme.

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = 4 + \sqrt[3]{{(x - 4)}^{3}}$

Étape 5.3.3.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = 4 + x - 4$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $4 + x - 4$ .

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Étape 5.3.4.1

Soustrayez $4$ de $4$ .

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$ est l’inverse de $f (x) = 4 + \sqrt[3]{x}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{3} - 12 x^{2} + 48 x - 64$