Pré-calcul Exemples

$f (x) = - 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}$

Étape 1

Écrivez $f (x) = - 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}$ comme une équation.

$y = - 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}$

Étape 2

Interchangez les variables.

$x = - 4 + 6 \sqrt{7 y + 4}$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $- 4 + 6 \sqrt{7 y + 4} = x$ .

$- 4 + 6 \sqrt{7 y + 4} = x$

Étape 3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$6 \sqrt{7 y + 4} = x + 4$

Étape 3.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${(6 \sqrt{7 y + 4})}^{2} = {(x + 4)}^{2}$

Étape 3.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7 y + 4}$ comme ${(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(6 {(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 4)}^{2}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez ${(6 {(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $6 {(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$6^{2} {({(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 4)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.2

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$36 {({(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 4)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(7 y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.4.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$36 {(7 y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 4)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$36 {(7 y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 4)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$36 {(7 y + 4)}^{1} = {(x + 4)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.4

Simplifiez

$36 (7 y + 4) = {(x + 4)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.5

Appliquez la propriété distributive.

$36 (7 y) + 36 \cdot 4 = {(x + 4)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.6

Multipliez.

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Étape 3.4.2.1.6.1

Multipliez $7$ par $36$ .

$252 y + 36 \cdot 4 = {(x + 4)}^{2}$

Étape 3.4.2.1.6.2

Multipliez $36$ par $4$ .

$252 y + 144 = {(x + 4)}^{2}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Simplifiez ${(x + 4)}^{2}$ .

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Étape 3.4.3.1.1

Réécrivez ${(x + 4)}^{2}$ comme $(x + 4) (x + 4)$ .

$252 y + 144 = (x + 4) (x + 4)$

Étape 3.4.3.1.2

Développez $(x + 4) (x + 4)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.4.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$252 y + 144 = x (x + 4) + 4 (x + 4)$

Étape 3.4.3.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$252 y + 144 = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 (x + 4)$

Étape 3.4.3.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$252 y + 144 = x \cdot x + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

Étape 3.4.3.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.4.3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.3.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$252 y + 144 = x^{2} + x \cdot 4 + 4 x + 4 \cdot 4$

Étape 3.4.3.1.3.1.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$252 y + 144 = x^{2} + 4 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 4$

Étape 3.4.3.1.3.1.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$252 y + 144 = x^{2} + 4 x + 4 x + 16$

Étape 3.4.3.1.3.2

Additionnez $4 x$ et $4 x$ .

$252 y + 144 = x^{2} + 8 x + 16$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.5.1.1

Soustrayez $144$ des deux côtés de l’équation.

$252 y = x^{2} + 8 x + 16 - 144$

Étape 3.5.1.2

Soustrayez $144$ de $16$ .

$252 y = x^{2} + 8 x - 128$

Étape 3.5.2

Divisez chaque terme dans $252 y = x^{2} + 8 x - 128$ par $252$ et simplifiez.

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Étape 3.5.2.1

Divisez chaque terme dans $252 y = x^{2} + 8 x - 128$ par $252$ .

$\frac{252 y}{252} = \frac{x^{2}}{252} + \frac{8 x}{252} + \frac{- 128}{252}$

Étape 3.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $252$ .

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Étape 3.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{252 y}{252} = \frac{x^{2}}{252} + \frac{8 x}{252} + \frac{- 128}{252}$

Étape 3.5.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{8 x}{252} + \frac{- 128}{252}$

Étape 3.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $8$ et $252$ .

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Étape 3.5.2.3.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8 x$ .

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{4 (2 x)}{252} + \frac{- 128}{252}$

Étape 3.5.2.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.3.1.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $252$ .

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{4 (2 x)}{4 (63)} + \frac{- 128}{252}$

Étape 3.5.2.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{4 (2 x)}{4 \cdot 63} + \frac{- 128}{252}$

Étape 3.5.2.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} + \frac{- 128}{252}$

Étape 3.5.2.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 128$ et $252$ .

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Étape 3.5.2.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $- 128$ .

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} + \frac{4 (- 32)}{252}$

Étape 3.5.2.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.5.2.3.1.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $252$ .

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} + \frac{4 \cdot - 32}{4 \cdot 63}$

Étape 3.5.2.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} + \frac{4 \cdot - 32}{4 \cdot 63}$

Étape 3.5.2.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} + \frac{- 32}{63}$

Étape 3.5.2.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}$

Étape 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}$

Étape 5

Vérifiez si $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}$ est l’inverse de $f (x) = - 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}$ .

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Étape 5.1

Pour vérifier l’inverse, vérifiez si $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Étape 5.2

Évaluez $f^{- 1} (f (x))$ .

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Étape 5.2.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f^{- 1} (f (x))$

Étape 5.2.2

Évaluez $f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})$ en remplaçant la valeur de $f$ par $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{2 (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})}{63} - \frac{32}{63}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{2 (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) - 32}{63}$

Étape 5.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{2 \cdot - 4 + 2 (6 \sqrt{7 x + 4}) - 32}{63}$

Étape 5.2.4.2

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{- 8 + 2 (6 \sqrt{7 x + 4}) - 32}{63}$

Étape 5.2.4.3

Multipliez $6$ par $2$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{- 8 + 12 \sqrt{7 x + 4} - 32}{63}$

Étape 5.2.5

Soustrayez $32$ de $- 8$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}$ .

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Étape 5.2.6.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(2 (- 2) + 6 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $6 \sqrt{7 x + 4}$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(2 (- 2) + 2 (3 \sqrt{7 x + 4}))}^{2}}{252} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.1.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 2) + 2 (3 \sqrt{7 x + 4})$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(2 (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4}))}^{2}}{252} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{2^{2} {(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 {(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{252} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $252$ .

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Étape 5.2.6.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 {(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2}$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 ({(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2})}{252} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.2.6.2.2.1

Factorisez $4$ à partir de $252$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 {(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{4 \cdot 63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 {(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{4 \cdot 63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{{(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.3

Réécrivez ${(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}^{2}$ comme $(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4}) (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4}) (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.4

Développez $(- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4}) (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.6.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{- 2 (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4}) + 3 \sqrt{7 x + 4} (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{- 2 \cdot - 2 - 2 (3 \sqrt{7 x + 4}) + 3 \sqrt{7 x + 4} (- 2 + 3 \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{- 2 \cdot - 2 - 2 (3 \sqrt{7 x + 4}) + 3 \sqrt{7 x + 4} \cdot - 2 + 3 \sqrt{7 x + 4} (3 \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.6.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.6.5.1.1

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 2 (3 \sqrt{7 x + 4}) + 3 \sqrt{7 x + 4} \cdot - 2 + 3 \sqrt{7 x + 4} (3 \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.5.1.2

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} + 3 \sqrt{7 x + 4} \cdot - 2 + 3 \sqrt{7 x + 4} (3 \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.5.1.3

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 3 \sqrt{7 x + 4} (3 \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.5.1.4

Multipliez $3 \sqrt{7 x + 4} (3 \sqrt{7 x + 4})$ .

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Étape 5.2.6.5.1.4.1

Multipliez $3$ par $3$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 \sqrt{7 x + 4} \sqrt{7 x + 4}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.5.1.4.2

Élevez $\sqrt{7 x + 4}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 (\sqrt{7 x + 4} \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.5.1.4.3

Élevez $\sqrt{7 x + 4}$ à la puissance $1$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 (\sqrt{7 x + 4} \sqrt{7 x + 4})}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.5.1.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 {\sqrt{7 x + 4}}^{1 + 1}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.5.1.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 {\sqrt{7 x + 4}}^{2}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.5.1.5

Réécrivez ${\sqrt{7 x + 4}}^{2}$ comme $7 x + 4$ .

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Étape 5.2.6.5.1.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7 x + 4}$ comme ${(7 x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 {({(7 x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.5.1.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 {(7 x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.5.1.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 {(7 x + 4)}^{\frac{2}{2}}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.5.1.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.6.5.1.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 {(7 x + 4)}^{\frac{2}{2}}}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.5.1.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 (7 x + 4)}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.5.1.5.5

Simplifiez

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 (7 x + 4)}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.5.1.6

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 9 (7 x) + 9 \cdot 4}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.5.1.7

Multipliez $7$ par $9$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 63 x + 9 \cdot 4}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.5.1.8

Multipliez $9$ par $4$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{4 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 63 x + 36}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.5.2

Additionnez $4$ et $36$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 6 \sqrt{7 x + 4} - 6 \sqrt{7 x + 4} + 63 x}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.5.3

Soustrayez $6 \sqrt{7 x + 4}$ de $- 6 \sqrt{7 x + 4}$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x}{63} + \frac{- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.6

Factorisez $4$ à partir de $- 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}$ .

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Étape 5.2.6.6.1

Factorisez $4$ à partir de $- 40$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x}{63} + \frac{4 (- 10) + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.6.6.2

Factorisez $4$ à partir de $12 \sqrt{7 x + 4}$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x}{63} + \frac{4 (- 10) + 4 (3 \sqrt{7 x + 4})}{63}$

Étape 5.2.6.6.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (- 10) + 4 (3 \sqrt{7 x + 4})$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x}{63} + \frac{4 (- 10 + 3 \sqrt{7 x + 4})}{63}$

Étape 5.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x + 4 (- 10 + 3 \sqrt{7 x + 4})}{63}$

Étape 5.2.8

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x + 4 \cdot - 10 + 4 (3 \sqrt{7 x + 4})}{63}$

Étape 5.2.8.2

Multipliez $4$ par $- 10$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x - 40 + 4 (3 \sqrt{7 x + 4})}{63}$

Étape 5.2.8.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x - 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.9

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.9.1

Associez les termes opposés dans $40 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x - 40 + 12 \sqrt{7 x + 4}$ .

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Étape 5.2.9.1.1

Soustrayez $40$ de $40$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{0 - 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.9.1.2

Soustrayez $12 \sqrt{7 x + 4}$ de $0$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{- 12 \sqrt{7 x + 4} + 63 x + 12 \sqrt{7 x + 4}}{63}$

Étape 5.2.9.1.3

Additionnez $- 12 \sqrt{7 x + 4}$ et $12 \sqrt{7 x + 4}$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{63 x + 0}{63}$

Étape 5.2.9.1.4

Additionnez $63 x$ et $0$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{63 x}{63}$

Étape 5.2.9.2

Annulez le facteur commun de $63$ .

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Étape 5.2.9.2.1

Annulez le facteur commun.

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = \frac{63 x}{63}$

Étape 5.2.9.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$f^{- 1} (- 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}) = x$

Étape 5.3

Évaluez $f (f^{- 1} (x))$ .

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Étape 5.3.1

Définissez la fonction de résultat composé.

$f (f^{- 1} (x))$

Étape 5.3.2

Évaluez $f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63})$ en remplaçant la valeur de $f^{- 1}$ par $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{7 (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) + 4}$

Étape 5.3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{7 (\frac{x^{2}}{252}) + 7 (\frac{2 x}{63}) + 7 (- \frac{32}{63}) + 4}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Factorisez $7$ à partir de $252$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{7 (\frac{x^{2}}{7 (36)}) + 7 (\frac{2 x}{63}) + 7 (- \frac{32}{63}) + 4}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{7 (\frac{x^{2}}{7 \cdot 36}) + 7 (\frac{2 x}{63}) + 7 (- \frac{32}{63}) + 4}$

Étape 5.3.3.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + 7 (\frac{2 x}{63}) + 7 (- \frac{32}{63}) + 4}$

Étape 5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.3.2.2.1

Factorisez $7$ à partir de $63$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + 7 (\frac{2 x}{7 (9)}) + 7 (- \frac{32}{63}) + 4}$

Étape 5.3.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + 7 (\frac{2 x}{7 \cdot 9}) + 7 (- \frac{32}{63}) + 4}$

Étape 5.3.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + 7 (- \frac{32}{63}) + 4}$

Étape 5.3.3.2.3

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.3.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{32}{63}$ dans le numérateur.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + 7 (\frac{- 32}{63}) + 4}$

Étape 5.3.3.2.3.2

Factorisez $7$ à partir de $63$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + 7 (\frac{- 32}{7 (9)}) + 4}$

Étape 5.3.3.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + 7 (\frac{- 32}{7 \cdot 9}) + 4}$

Étape 5.3.3.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + \frac{- 32}{9} + 4}$

Étape 5.3.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} - \frac{32}{9} + 4}$

Étape 5.3.3.4

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} - \frac{32}{9} + 4 \cdot \frac{9}{9}}$

Étape 5.3.3.5

Associez $4$ et $\frac{9}{9}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} - \frac{32}{9} + \frac{4 \cdot 9}{9}}$

Étape 5.3.3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + \frac{- 32 + 4 \cdot 9}{9}}$

Étape 5.3.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.7.1

Multipliez $4$ par $9$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + \frac{- 32 + 36}{9}}$

Étape 5.3.3.7.2

Additionnez $- 32$ et $36$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{36} + \frac{2 x}{9} + \frac{4}{9}}$

Étape 5.3.3.8

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 5.3.3.8.1

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{x^{2}}{6^{2}} + \frac{2 x}{9} + \frac{4}{9}}$

Étape 5.3.3.8.2

Réécrivez $\frac{x^{2}}{6^{2}}$ comme ${(\frac{x}{6})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6})}^{2} + \frac{2 x}{9} + \frac{4}{9}}$

Étape 5.3.3.8.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6})}^{2} + \frac{2 x}{9} + \frac{2^{2}}{9}}$

Étape 5.3.3.8.4

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6})}^{2} + \frac{2 x}{9} + \frac{2^{2}}{3^{2}}}$

Étape 5.3.3.8.5

Réécrivez $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ comme ${(\frac{2}{3})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6})}^{2} + \frac{2 x}{9} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Étape 5.3.3.8.6

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$\frac{2 x}{9} = 2 \cdot \frac{x}{6} \cdot \frac{2}{3}$

Étape 5.3.3.8.7

Réécrivez le polynôme.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6})}^{2} + 2 \cdot \frac{x}{6} \cdot \frac{2}{3} + {(\frac{2}{3})}^{2}}$

Étape 5.3.3.8.8

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = \frac{x}{6}$ et $b = \frac{2}{3}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6} + \frac{2}{3})}^{2}}$

Étape 5.3.3.9

Pour écrire $\frac{2}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Étape 5.3.3.10

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $6$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.3.3.10.1

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2})}^{2}}$

Étape 5.3.3.10.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x}{6} + \frac{2 \cdot 2}{6})}^{2}}$

Étape 5.3.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x + 2 \cdot 2}{6})}^{2}}$

Étape 5.3.3.12

Multipliez $2$ par $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x + 4}{6})}^{2}}$

Étape 5.3.3.13

Appliquez la règle de produit à $\frac{x + 4}{6}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{{(x + 4)}^{2}}{6^{2}}}$

Étape 5.3.3.14

Élevez $6$ à la puissance $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{{(x + 4)}^{2}}{36}}$

Étape 5.3.3.15

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{\frac{{(x + 4)}^{2}}{6^{2}}}$

Étape 5.3.3.16

Réécrivez $\frac{{(x + 4)}^{2}}{6^{2}}$ comme ${(\frac{x + 4}{6})}^{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 \sqrt{{(\frac{x + 4}{6})}^{2}}$

Étape 5.3.3.17

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 (\frac{x + 4}{6})$

Étape 5.3.3.18

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.3.3.18.1

Annulez le facteur commun.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + 6 (\frac{x + 4}{6})$

Étape 5.3.3.18.2

Réécrivez l’expression.

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = - 4 + x + 4$

Étape 5.3.4

Associez les termes opposés dans $- 4 + x + 4$ .

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Étape 5.3.4.1

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = x + 0$

Étape 5.3.4.2

Additionnez $x$ et $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}) = x$

Étape 5.4

Comme $f^{- 1} (f (x)) = x$ et $f (f^{- 1} (x)) = x$ , $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}$ est l’inverse de $f (x) = - 4 + 6 \sqrt{7 x + 4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{252} + \frac{2 x}{63} - \frac{32}{63}$